Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
18. Г. Изучение окружности (Г). Точки M и M' с одной стороны, а также N и N' с другой соответствуют друг другу в инверсии с полюсом Л, которая окружность (Q преобразует в прямую Oy (черт. 126). Имеем
AM- AM' = AN- AN';
0)
отсюда следует, что эти четыре точки лежат на одной окружности (D). Обе части равенства (1) равны: AO-AOf = 2R2 = (R Y 2)2. Если мы теперь рассмотрим окружность (A1 RY~2\ то степень центра этой окружности по отношению к окружности (D) равна квадрату радиуса; значит, эта окружность ортогональна (D).
2°. Радикальная ось (Гх) и (D2). Если (D1) и (D2) — две окружности, соответствующие двум положениям (A1) и (A2) прямой (А), то точка А, имея одну и ту же степень по отношению к этим окружностям, лежит на их радикальной оси. С другой стороны, (Aj) и (A2) — радикальные оси окружностей (D1) и (Г2), взятых по одной с окружностью (С). Значит, точка S пересечения прямых (A1) и (A2) лежит так же, как и A1 на радикальной оси окружностей (D1) и (D2); радикальная ось (D1) и (D2) есть, следовательно, AS.
3°. Значение IA2 —IB2. Пусть I и р — центр и радиус окружности (D). Так как окружность (D) ортогональна окружности (A1 R Y 2)» то IA2 = р2 + (R Y 2)2 = р2 + 2R2. Так как точка В расположена на радикальной оси (D)
и (C)1 то IB2 — р2 = OB2 — R2 или IB2 = р2 +
Черт. 127.
-j- OB2 — R2. Вычитая почленно полученные равенства, будем иметь IA2 — IB2 = 3R2 — OB2. Если (А) меняется, но проходит все время через точку F1 то, применяя полученное соотношение для точки F1 будем иметь IA2 -г- IF2 = 3R2 — OF2 = const. Точка / принадлежит геометрическому месту точек, разность квадратов расстояний от каждой из которых до двух точек AnF равна 3R2 — OD2; это прямая (D), перпендикулярная AF; ее пересечение с AF есть точка H1 определяемая следующим соотношением, в котором U — середина AF9 2AF-UH=3R2 — OF2t откуда (черт. 127)
2AF
О)
То, что точка / остается на фиксированной прямой, можно получить из того, что если F—общая точка прямых (A1) и (A2), прямая AF есть радикальная ось соответствующих окружностей (D1) и (D2). В самом деле, прямая I1I2 центров этих окружностей, на основании сказанного, перпендикулярна AF; если, следовательно, (A1) фиксирована, a (A2) изменяется, но постоянно проходит через F1 точка I2 лежит на прямой, проходящей через Ix перпендикулярно AF.
Свойства прямой (D). Пусть (черт. 127) P и /<—проекции точки О на пря-
_ _ _, (Q л 2_Qf 2
мые (D) и AF. Тогда OA2 — OF2 = 2^D. 1Щ, откуда i^K = . Отсюда,
2AF
используя формулу (1), находим
к}і = йн—шї = ж ~ 0р2 ~ 0А*+ 0/72 =3R2 ~~ R2 -
2AF 2AF AF 9
значит
KH-AF = R2. (2)
Пусть D1—точка, полученная из F переносом, при котором А переходит в О. Точки О, P1 F1 расположены на одной прямой и, значит, OP == KH и OFi = AF>
36*
564.
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
Отсюда и из (2) находим OP • OF1 = R2; значит, точка P есть основание поляры точки F1 по отношению к окружности (С). Эта поляра есть, следовательно, прямая (D).
4°. (A') — поляра /. Так как поляра точки F1 относительно окружности (С) проходит через /, то поляра точки / проходит через Fi. Эта поляра есть, следовательно, перпендикуляр, опущенный из Fi на 10. Так как IO _[_ (А), то этот перпендикуляр параллелен (А) — он получается из (A) в результате переноса, переводящего F в F1 (или А в О).
19. Пусть ЛВС — данный треугольник; A11 Bx и C1—середины сторон ВС, CA и AB; I и 1С — центры вписанной и вневписанной окружностей, лежащие на биссектрисе угла С; F и F1 — точки касания этих окружностей со
Черт 128.
стороной AB; D и D1-точки их касания со стороной ВС; CC2 — высота треугольника, Al— точка пересечения линии центров Пс окружностей (/) и (I с) со стороной AB (черт. 128). Так как CxF = C1F1, то точка C1 имеет одну и ту же степень а относительно окружностей (/) и (1С). Так как прямые BI и I0B служат биссектрисами внутреннего и внешнего углов при вершине В треугольника BCM1
то точки / и Iс делят гармонически отрезок MC2. Поэтому C1F2 = C1Fl = C1M - C1C2. Из этого равенства следует, что точка C2 преобразуется инверсией (C1, CxF2) в точку M1 а значит окружность Эйлера треугольника ABC — в прямую PQ1 проходящую через точку M параллельно касательной к этой окружности в точке C1. Докажем теперь, что эта касательная параллельна касательной к описанной окружности (ЛВС) в точке С. В самом деле, середина О отрезка ОН есть центр окружности Эйлера, поэтому OxB21| OC1 а касательная к описанной окружности (ABC) в точке С перпендикулярна O]B2 и, значит, O1C1, так как B2 и C1 — диаметрально противоположные точки окружности Эйлера. Из того, что касательная / к окружности Эйлера (треугольника ABC) в точке C1 параллельна касательной к окружности (ABC) в точке С, следует, что прямая / образует с ВС угол, равный углу А треугольника ABC. Итак, окружность (O9) Эйлера треугольника ABC преобразуется инверсией (C1, CiF2) в прямую PQ1 проходящую через точку M и образующую со стороной ВС угол MQC, равный углу А данного треугольника; иначе говоря, прямые AAiB и PAiQ образуют с прямой If0 равные углы. Так как AB есть общая внутренняя касательная окружностей (/) и (1С), то PMQ — их вторая общая внутренняя касательная. Из сохранения касания при инверсии заключаем, что (Од) — образ PQ в инверсии (C1, C1F') будет касаться окружностей (/) и (/г),:. инвариантных в этой инверсии. Аналогично доказывается, что (O9) касается вне-
