Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
3°. Геометрическое место точек M' — окружность (С), полученная из окружности (С) гомотетией (О, —2) [следует сделать чертеж для рассматриваемого случая, т. е. для случая, когда точка M описывает окружность (С), касающуюся оси Ox в точке О].
Медиатрисы (7") проходят через фиксированные точки. Медиатриса отрезка OM проходит все время через центр С окружности (С), а медиатриса OM' проходит постоянно через центр С' окружности (C'}; мы видим, что медиатрисы треугольника (T) пересекают ось Ox в точках А, А' и В таких, что OA = АА'-~А'В; аналогично — эти медиатрисы пересекают ось Oy в точках С, С и D таких, что CO = OD = DC Значит, медиатриса отрезка MM' пгоходит постоянно через середину D отрезка ОС
Геометрическое место точек w. Точка D лежит на окружности, описанной около треугольника (T), так как она диаметрально противоположна точке В (все эти рассуждения относятся к чертежу, который надо было сделать выше к 3°). Таким образом, окружность, описанная вокруг треугольника (T), проходит через фиксированные точки О и D1 значит, геометрическое место точек о> есть медиатриса отрезка OD.
4°. Геометрическое место точек M9 M' и P при условии, что окружность, описанная около треугольника (T)9 проходит через фиксированную точку В
оси Ох. В этом случае точки А и А' фиксированы (OA = AA' = А'В), а так как AM = АО и A'M' = А'О, то точки M и M' описывают окружности соответственно с центрами А и А', проходящие через О. Пусть Mx — точка, симметричная точке M относительно оси Ох; точка Mx лежит на окружности, являющейся геометрическим местом точек М. Обозначим через Лг середину M'M1; проекция Af на Ox совпадает с р — проекцией P на Ох. Заметим, что так как точки M1 и M' описывают окружность, то точка N описывает окружность, центр ^ которой есть середина
отрезка AA , и эта окружность проходит через О и В, а так как = ^^ ^mr^j[' ^
2рР 2 IP 1 п лг
= тг--г7- = тт -лиг — о~ , то точка P из точки N получается в результате равно-ZmM1 3 IM 3 ' J г j г
мерного сжатия к оси Ox с коэффициентом сжатия -х-, а потому описывает эллипс
о
с большей осью OB; меньшая полуось перпендикулярна в точке 7 к OB и длина ее равна і От,. 12. Геометрическое место вершин линий (С). Г. Пусть H—
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 555
ортогональная проекция F на (D). Вершины AnA' линии (С), расположенные на фокальной оси, определяются соотношениями
AF A7F _с
АН A'H
FA е FA' е
отсюда ¦--г—.— и--= .---. Таким образом, А и А' суть образы
PH 1+е рн е—\
точки Hb гомотетиях у. ^P1 у-уу ^ и ^F, е Є > а так как геометрическое место
точек H есть окружность (у) с диаметром Fl, то геометрическое место течек А и А' суть окружности (F) и (F'), полученные из (?) при помощи гомотетий у. и у/. Если 0 < е < 1, то линия (С) — эллипс; в этом случае имеются еще две вершины В и В', не расположенные на фокальной оси. Точки BnB' получаются из точек А и Л' в результате подобий G1 и G2, которые являются произведением поворота
на углы ± arc cos (—е) вокруг F на гомотетию ^F, y—j j . Значит, геометрическое
место точек BnB' — снова две окружности (F1) и (F2), полученные из (F) и (F')
в результате преобразований подобия O1 ^ Л у—^, и G2(^F, ^_^ ,— 6j1
где 0 = arc cos (— е).
2°. а) Геометрическое место точек, общих линиям (C1) и (C2), директрисы которых взаимно-перпендикулярны. Пусть M — точка, общая линиям (C1) и (C2) с фокусом F, с данным эксцентриситетом, директрисы (D1) и (D2) которых взаимно перпендикулярны и обе проходят через фиксированную точку /. Обозначим через тх и т2 проекции точки M на (D1) и (D2). Тогда MF = еМтх и MF = еМт2, откуда Mm1 = Mm2 и, значит, соответствующий четырехугольник —
гл Mm1 1 MF е
квадрат. Отсюда-- = и, следовательно,--= ¦ . Отношение расстоя-
MI 2 MI Y 2
ний от точки M до F и / постоянно и равно > поэтому геометрическое место
точек M есть окружность с диаметром ^', где [х и [л' делят отрезок FI В OTHO-
6 6 г—
шениях ~у^~ и — у-~2 ' ^СЛИ ^ = V 2, т. е. линии (С) — равносторонние гиперболы,
то MF = MI, значит, геометрическое место точек M есть медиатриса отрезка FL б) Геометрическое место точек пересечения направляющих окружностей
линий (C1) и (C2). Центр О линии (С) определяется вектором FO — ~-2--^
где H—проекция F на соответствующую ему директрису. Центры O1 и O2 направляющих окружностей линий (C1) и (C2) со взаимно перпендикулярными диаметрами являются, следовательно, концами O1 и O2 диаметра O1O2 окружности (-['), являющейся образом окружности (у) в гомотетии ^F, ^
—\ —> —>
[ибо H1H2 — диаметр окружности (7)]. Так как FO1 + FO2 = 2/-Ч где « — центр (-('),
то 2FZ= (FH1 + W2) - ^___у Удалее, /4? + /7O22 - 4/Ъ>2 - (^1)' /7/2-
FO FO
Если точка, общая окружностям (C1) и (C2), то MOx=--, MO2 2"
е ' " е '
значит, MO1 + М0\ = FI2; но, с другой стороны, М0\ + AlO2 = 2Mw2 -f
Xl е2 \2
