Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Ответы. § 1. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ УРАВНЕНИЙ
425
корни уравнения /(х) = 0 входят в область определения функции ср (х); к) эквивалентны; л) эквивалентны; м) не эквивалентны; н) эквивалентны; о) эквивалентны; п) эквивалентны: р) эквивалентны; с) эквивалентны, если уравнение f(x) ср (л:) = — 1 не имеет корней; т) эквивалентны; у) эквивалентны, если система уравнений/(х) =
— (2k + l)~t ср (х) = (2s ф 1) — , где k и 5-—целые числа. — несовместна; ф) не
эквивалентны; х) эквивалентны, если уравнение f(x) = sr. ф arc tg къ (k и s — целые числа) имеет корни лишь при & = s = 0; 14. а) Первое уравнение — следствие второго; б) второе уравнение — следствие первого; в) второе уравнение — следствие первого; г) второе уравнение — следствие первого. 15. При условии, что корни уравнения ? (л-) = 0 входят в область определения функции f(x). 16. а) Нет; б) нет, так как из второго уравнения следует первое. 17. а) могут; б) могут; в) х = 1 —
корень уравнения arc sin х = 2 arc sin -=r, но не корень уравнения tg (arc sin х) =
= tg {2 arc sin -у=? ); далее, х = т. — корень уравнения tg х = tg 2х, но не корень
уравнения X — 2х. 18. Первое — следствие второго. Уравнения эквивалентны, если все корни уравнения /(х) = <? (х) по абсолютной величине меньше или равны 1. 19. Будут. 20. Будут, если уравнение /(а:) = — ср (х) не имеет корней, при которых f(x) Ф 0 (и —у(х)фО). 21. Будут, если уравнение /2 (х) = ср2 (л) имеет только такие корни, при которых / (л-) = ср (х) — 0. 22. Эквивалентны. 23. Нет. 24. При условии, что система уравнений Л~/2~/з имеет лишь такие решения, при которых /, = 0, /2 = 0, /з — 0. 25. Да. 26. При условии axb2 — а2Ьх Ф 0. Доказательство: любое решение системы /==0, ср — 0 является и решением системы — 0, а2/фЬ2у 0. Обратное положение верно, если axb2—a2bx Ф 0. В самом деле: пусть х0, у0 — какое-нибудь решение последней системы, т. е. Ci1Z(X0, у0) + + ^i? (•Ko» Уо) = 0. a2f(x0, У о) Ф ^2? (-k0, Уо) = 0- Умножая первое из равенств на Ь2, второе — на —Ьх и складывая, получим (axb2 — a2bx) f(x0, у0) — 0; аналогично находим (axb2 — ci2bx)^(xQ, Уо) = 0. Отсюда и следует, что если аф2 — а2ЬхфО, то
f(x0> Уо) = 0» ?С*о» Уо) = 0, Т. Є. решение СИСТеМЫ O1Z-J-O1Cp = O, #2/-(-^2^=0
является вместе с тем и решением системы /= 0, 9 = 0. 27. При условии А = я^^з + + a2b3cx фа3Ьхс2— аъЬ2сх—ахЬ3с2— а2Ьхс3фО. И здесь без всякого дополнительного ограничения любое решение системы (1) является решением системы (2), при доказательстве же обратного положения придется воспользоваться условием А Ф 0. Именно: пусть xQ, у0> Z0 — какое-нибудь решение системы (2), т. е.
Умножая первое уравнение на Ь2с3— Ь3с2, второе — на ^3C1— Ьхс3, третье — на ^1C2 — Ь2сх и складывая, получим (ахЬ2с3ф а2Ь3сх ф a3bxc2— ^3O2C1—ахЬ3с2 — — а2^ісз) І (хо> Уо* zo) — 0, откуда, в случее, если выражение, заключенное в скобки, не равно нулю, находим f(x0, у0, Z0) = 0. Аналогично в случае A=^=O находим <Р (хо> Уо, Zq) = 0, 6 (х0, уо, Z0) = 0. 28.
Y(x — с)2 ф у2 ф Y (X ф с)2 ф у2 = 2а, (х — с)2 фу2 + ф 2 YIx=wt^ (х + с)2 + у2 = \а2,
Y(x2 -г У2 ф с2 ф 2сх) (х2 ф у2фс2 — 2сх) = 2а2 — (х2 ф у2 ф с2), (х2 фу2ф с2)2 — 4c2jc2 = 4а4 — 4а2 (х2 ф у2 ф с2) ф (х2 ф у2 ф с2)2, (а2 — с2) X2 ф а2у2 = а2 (а2 — с2); но а2 — с2 = Ь2, X2 у2
значит Ь2х2 ф а2 у2 = а2Ь2, откуда —ф~= 1. Мы доказали, что любое решение первого уравнения есть решение и второго уравнения. Докажем, что и обратно — любое решение второго уравнения есть и решение первого. Итак, пусть х, у — какое-
aif(xQ, Уо, г0)фЬх?(х0, у0, Z0) ф Cx^b (х0, у0, Z0) а2/(хо, Уо* Z0) ф Ь2у (х0, у0, Z0) ф с2<Ь (х0, у0, Z0) a*f(xo> Уо> Z0) фЬ(х0, у0, Z0) ф c3<b (х0, у0, Z0)
0,
о,
0.
нибудь решение уравнения
значит,
-/г
Ь2
— -,х2 — 2схфс2ф а2 1 1
b2 = j/
— b2 а2
X2 — 2сх ф с2 ф b2 =
426 Ответы. Алгебра. Гл. IV. ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИИ И НЕРАВЕНСТВ
х2 у2
По условию а > с > 0. Так как, кроме того, -^4- ~ = 1, то абсолютная величина х
а? о*
меньше или равна а, т. е. |лг|<д (мы ограничиваемся лишь действительными
CX
решениями). Отсюда и из неравенства а > с > 0 следует, что а — — > 0; значит
2~~,имы окончательно находим YJx — с)2 + у2 = а — —. Аналогич-а г \ / і ? ?
рассуждениями доказывается, что у (х + с)2 + у2 = a -f- — ; значит
Y(x — с)2 + у2 + Y(x + с)2 + у2 = 2а, и мы находим, что если выполнено равен-ство + ~ ^ т0 бУДет выполнено и равенство К (л:—с)2 + у2-\- У"С*+с)24-у2 = 2я.
Эквивалентность заданных уравнений доказана. 29. Решение аналогично предыдущей задаче. Здесь при доказательстве того, что любое решение второго уравнения
является решением первого, мы придем к равенствам Y(x — с)2 -j- у2 =
сх а
V(x + cY + y* = \-^+а
X2 у2
. Из соотношения — — jyi ~ ^ следует, что \х\^а. Рассмотрим два случая: 1) и 2) i< — а. В первом случае в силу неравенств
CX CX
с > а > 0 имеем —--а > 0, ~ -\- а > 0, так что приведенные выше радикалы соот-
CX CX
ветственио равны —--а и — -\-а, их разность равна —2а, абсолютная величина
