Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
xl + q-l X2+V-I xp+q-l
Очевидно, Jt = I есть корень кратности р как целой рациональной функции f(x) = = (xl+q — 1) (х2 tq — 1) ... (xp+q — 1), так и целой рациональной функции у (х) ==
= (х — 1) (х2 — 1) ... (*р — 1). Рассматривая любой корень у 1 (s <; р) и группы чисел 1 2 3 ... 5; 5+1 5 + 2 ... 2s\ ... (/?); 1 + ? 2 + у ... s + <7; 5+1 + ? 5 + 2 + g ... 2s + q; ... (/? + q), установим, что в каждой из групп р їда чисел
(P + Я) найдется число, делящееся на 5, а потому кратность корня у 1 для функции f (х) не ниже кратности того же корня функции <р (х) [в последней группе (р) чисел число чисел может быть меньше 5, и тогда возможно, в зависимости от значения q, что в последней группе чисел ряда (р -f- q) найдется число, делящееся
s
на S] тогда кратность рассматриваемого корня У 1 для функции f(x) будет выше»
чем кратность того же корня для функции ер (х)\ 7. Указание. Если f(x) — целая рациональная функция f(x) = хп + alxn~i + ... -\-ап_хх + ап% то разность д/ = /(л:+1)—f(x) есть также целая рациональная функция степени п — !,причем коэффициент при хп~1 равен п. Далее Д2/ = /(х + 2)—f(x + 1) — [f(x + 1) — — f(x)] —f(x + 2) — 2f(x+\)+f(x)— также целая рациональная функция степени п — 2, и коэффициент при хп~2 равен п (п—1) и т. д., значит, Ай/ — ^f(x + n)-C\f(x + n-\) + C2nf(x + n-2)- ... + (_1)*С*/(х)==л! Для до-казательства предложенного в задаче соотношения а) достаточно положить в этом тождестве f(x) = (x — п)п. Для доказательства же соотношения б) достаточно заметить, что для целой рациональной функции f(x) степени п имеем Дл+1/ = 0
1 23
(надо взять f(x) = (х — п)р и записать, что Ал/ = 0). 8. a = -^-, b = — • 9« Указание. (Зху + 2у) (Ъху + 2х). Затем положить u + v = Зху + 2у, и — V = Ъху + 2х. Ответ: (4ху f х + у)2 — (—xy + у — х)2. 10. /(1) = 0. 11. Воспользоваться свойствами сочетаний. 12, Применить теорему Безу. 13. Необходимое условие: be = /2,
422
Ответы. Алгебра. Гл. II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
са = g2, ab = h2,abc + 2fgh-—bg2—af2--ch2 = 0. Доказательство достаточности: / = z=YbV7zlt g = Vc Vaг2, /г = /о Vbz3, где г{= г\ = = 1. Подставляя это в условие abc + 2/g-ft — — а/2 — с/г2 — 0, получим є{е2е3 = 1 (если аф 0, b Ф 0, с ф 0), тогда E1 = E2-E3 = I или среди них есть два отрицательных. В обоих случаях данное выражение есть полный квадрат линейной однородной функции относительно х, у, г. Пусть теперь, например, а = 0, тогда g = А = 0, и данное выражение принимает вид by2 + cz2 + 2fyz = by2 + cz2±2 Vb Vc yz = (у !^^±2: ]ЛГ)2. Аналогичный результат получим при Ь = 0 и при с'= 0. 14. Воспользовавшись результатом предыдущей задачи, находим Z=B1Yb—XVc—X, g = г2Vе—^V ci— X, h = S3 У*а — Х|/# — X, где 6j = є2 = Eg = 1; считая а — \ф0, Ь — \ ф 0, с — 1 Ф 0*
находим, єіє2?з = 1; значит, fg = E1E2 (с — X) "j/a — — X = І^2- /г (с—X) =/г(с—X)
?з
и т. д. Если же л — Х = 0, то h = g = 0 и данное выражение принимает вид (6 — X) у2 -f- 2/уг + (с — X) г2; предлагаемые соотношения также выполнены. 15. 1 + с2+с22+ ... + с2п; C2 + C1C3 + с2с4+ ...c11-2V
Глава II. Алгебраические дроби § 1. Тождественные преобразования алгебраических дробей
1. х + 1. 2. 1.3. . 4. лт. 5. 1. 6. -^Р^г. 7. X3+ у3. 8. -4-2-9. 0. 10. 0. 11. 0. 12. 1.
X і *~р X у
13. a-f й + с — х — у — г. 14. х2. 15. а + й + с. 16. a2 -f b2 + с2 -+ 6с + са + дб. 17. а+ 6 + с. 18. Л 19. (а + Ь + су. 20. 1. 21. —. 22. 23. 1
„. „ „- л і її. ос т(т — Ь)(т — с) _a —ft_
24. а. 25. -а + * + с. 26. а(а_Ь){а_с) • 27. (с_д + й)(с + д_6) .
28. 3-(*» + ^+ У*)- 29. ^Д^+^- 30. (6+с) (с+ а) (а+ 6).
зі.--і(у-,)(,-.)(х-,). з2т+--г зз- -г з4-гЬ-
35. 3(**+ >* + *«). 33. 2в*. 37. 1. 38. % + ¦ 39. *« + 5. 40. g + |> g+ j>.
41. ?аа6^с*# где сумма распространена на всевозможные неотрицательные целые
значения а, ? и -г, в сумме дающие « — 2. 42, -fl2 + дз + • ¦ • + Дя
CIi(Ci1+а2+ ... +ап)
2п+ 1х2п+> -1 + 2па*пх*п -1 2а: — а 1 — л:2*+1
+ 1 л:*+ дат+ а* * ' (J-^2) ^2«-i •
~>п+1 + а2Пх2П + а2П
45.
л'2 + алт + а2
§ 2. Условные тождества
9. 9. Верно. 12. ab. 13. a + b. 18. — ci2b{. 19, 01^3+02^1 + 03^2^0-^2---— ci2b\C5 — a3b2Ci.
Глаза III. Радикалы и иррациональные выражения § 1, Тождественные преобразования иррациональных выражений
15.1±Ц±^1-. 16. ^=l±l^zOL. п. 1+3V2-+2/2-W.
iQ iVT 1V0 IQ Л(/J + уТ-Y7)(Ya —Уь— VF)(VE-Yb+ уТ)
1». •/0—¦/z. ІУ. а2 + Ь2 + с2_2bc — 2са — 2аЬ
р
20. Q , где
P = л (У? + VT - Yc-Vd) (Va + Yb + Vc - Vd) (Va + Yb -Yc + Vd) X X [(а + Ь — с — d)2 + 4ab — Acd — 4 (а + Ь — с — d) Vohl Q ¦= [(а + Ь — с — d)2 + Aab — Acd]2 — 16 (а + b —c — d)2 ab.
Ответы. § 2. УСЛОВНЫЕ ТОЖДЕСТВА. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАВЕНСТВ 423
22.
21. где,
P = A {f'a2' + УТ2 + Vc2 — f'oc — Y cd — f^oi),
Q = (л + 6 + с)2 + 3 (а + 6 + с) + 9 YaWc2у R = (a-\-b-\-cY — 21abc.
( —2а, если а< — 3; У"Д2 -f 6я + 9 + У"а2 — 6а + 9 = { 6, если —3 < а < 3;
1 2а, если а > 3.
/n\P+4 ( n\p+q a b
