Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
3. Из полукруга радиуса г свернута боковая поверхность конуса. Найти объем этого конуса.
4. Вычислить радиус основания конуса, если объем его равен v, а полная поверхность равна s.
б. Шара касаются коническая поверхность и плоскость, перпендикулярная оси конической поверхности. Отношение полной поверхности получающегося при этом конуса к поверхности шара равно т. Найти отношение объемов . 1
этих тел, если т < у.
6. В конус вписан шар радиуса г. Найти объем конуса, если известно, что плоскость, касающаяся шара и перпендикулярная одной из образующих конуса, отстоит от вершины конуса на расстоянии d.
7. Доказать, что объем конуса во столько раз больше объема вписанного в него шара, во сколько раз полная поверхность конуса больше поверхности шара.
8. В конус вписан шар. Поверхность шара относится к площади основания конуса, как 4 : 3. Найти угол при вершине конуса.
9. Радиус земли равен 6300 км. На какую высоту над горизонтом следует подняться, чтобы линия горизонта проходила на расстоянии 100 км от наблюдателя?
10. Отношение высоты конуса к радиусу описанного вокруг него шара равно q, Найти отношение объемов этих тел. При каких q задача возможна?
286
Стереометрия. Гл. XXIL ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
Ib Ось цилиндра, радиус основания которого г, совпадает с диаметром шара, радиус которого R. Высота цилиндра равна 2R. Определить объем части цилиндра, находящейся вне шара, г < /?.
12. Основание конуса, радиус основания которого равен R9 совмещено с осно- N ванием прямого цилиндра, радиус которого г (г < R)9 так, что их центры совпадают. Определить объем части конуса, лежащей вне цилиндра, и объем части цилиндра, лежащей вне конуса, если цилиндр и конус имеют одинаковую высоту Н.
13# Все вершины равнобедренного треугольника, основание которого равно 6, а высота 2, лежат на поверхности кругового цилиндра, ось которого перпендикулярна основанию треугольника и образует с его плоскостью угол 60°. Найти радиус цилиндрической поверхности.
14. Треугольник со сторонами а, Ъ и с вращается вокруг стороны а. Определить объем тела вращения.
16. Равнобочная трапеция с диагональю, перпендикулярной боковой стороне, и основаниями, равными а и bt вращается вокруг оси, совпадающей с боковой стороной трапеции. Определить полную поверхность тела вращения (а<Ь).
16. Доказать, что объем тела вращения, полученного вращением треугольника вокруг прямой, лежащей в плоскости этого треугольника, но не пересекающей его, равен 2тср$, где -площадь треугольника, а р —расстояние от точки пересечения его медиан до оси вращения (частный случай теоремы Гюльдена).
17. На столе лежит круглое кольцо (тор), сечения которого вертикальными плоскостями* проходящими через центр кольца, суть круги радиуса г, центры отих кругов расположены на окружности радиуса /?. На кольце лежит шар, касающийся стола в одной точке и касающийся кольца по некоторой окружности. Вычислить радиус шара и радиус окружности его прикосновения по кольцу.
18. Прямая, соединяющая середины скрещивающихся ребер правильного тетраэдра, служит осью цилиндра, окружности оснований которого касаются граней тетраэдра в их центрах. Найти отношение объема цилиндра к объему тетраэдра.
19. Найти отношение объема цилиндра к объему куба, если высота цилиндра лежит на диагонали куба, каждая из окружностей, лежащих в основании цилиндра, касается трех граней куба, сходящихся в концах указанной диагонали куба, а осевое сечение цилиндра — квадрат.
20. Одна из вершин конуса совпадает с вершиной куба, ребро которого равно а. Окружность основания конуса касается трех граней куба, сходящихся в вершине, противоположной той, с которой совпадает вершина конуса. Образующая конуса составляет с его осью угол 30°. Найти радиус основания конуса.
21. Вершина конуса совпадает с вершиной куба; основание конуса касается трех граней куба, сходящихся в противоположной вершине куба. Осевое сечение конуса — правильный треугольник. Найти отношение объема конуса к объему куба.
22. Осевое сечение конуса — две взаимно-перпендикулярные прямые. На одной и той же образующей конуса взяты две точки А и В на расстоянии а друг от друга. На поверхности конуса взяты еще две точки ChD такие, что ABCD — правильный тетраэдр. Найти расстояние от вершины конуса до ребра CD этого тетраэдра.
23. Сфера, поверхность которой равна S9 касается ребер призматической поверхности, перпендикулярное сечение которой — правильный шестиугольник. Найти величину части призматической поверхности, заключенной внутри сферы.
§ 9. ЦИЛИНДР, КОНУС, СФЕРА, МНОГОГРАННИКИ
287
24. Найти величину части поверхности правильного тетраэдра, заключенного внутри сферы, центр которой совпадает с центром тяжести тетраэдра, oT/22
а радиус равен 12 , где а — ребро тетраэдра.
26. Найти величину части поверхности правильного тетраэдра, заключенной внутри сферы, если эта сфера проходит через вершины основания тетраэдра, причем расстояние центра сферы от вершины тетраэдра относится к его высоте, как 9 : 8. Ребро тетраэдра равно а.
