Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
б. В шар вгисан правильный тетраэдр, затем в тетраэдр снова вписан шар. Найти отношение поверхностей двух шаров.
6. В правильный тетраэдр вписан шар, касающийся граней тетраэдра. В шар вписан новый правильный тетраэдр. Найти отношение объемов двух тетраэдров.
7. Найти радиус сферы, описанной вокруг правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 3, а высота равна 8.
8. Най'іи радиус сферы, описанной вокруг прямой призмы, основанием которой служит равнобедренный треугольник с основанием, равным 6, и высотой, равной 1; высота призмы равна 24.
9. Найти радиус сферы, описанной вокруг пирамиды, в основании которой находится правильный шестиугольник со стороной, равной 4; одно из ребер пирамиды перпендикулярно плоскости основания и равно 6.
10. Найти радиус сферы, описанной вокруг треугольной пирамиды, боковые ребра которой взаимно перпендикулярны и равны 6, 8 и 24.
11. Найти радиус сферы, описанной вокруг пирамиды SABC, если AB = AC= 30, ?C = 48, SA перпендикулярно плоскости основания и равно 120.
12. Прямая, соединяющая центры двух правильных шестиугольников, стороны которого равны 5 и 12, перпендикулярна их сторонам и равна 17. Найти радиус сферы, проходящей через вершины шестиугольников.
13. В тетраэдре ABCD ребро AB = 6, ребро CD =8, а каждое из остальных
ребер равно |^74. Найти радиус описанного шара.
14. В шар радиуса R вписана правильная четырехугольная пирамида. Определить объем этой пирамиды, если радиус окружности, описанной вокруг его основания, равен г.
16. Найти радиус шара, вписанного в пирамиду, в основании которой лежит ромб с диагоналями 6 и 8. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 1.
16. Найти радиус сферы, вписанной в пирамиду, в основании которой лежит треугольник со сторонами 13, 14 и 15; вершина пирамиды удалена от каждой стороны основания на 5.
17. Найти радиус сферы, вписанной в тетраэдр ABCD, если AB = CD =6, а каждое из остальных ребер равно 1^34.
18. Найти радиус сферы, вписанной в тетраэдр ABCD, если AB = 10, CD= 18,
а каждое из остальных ребер равно 5*^10.
19. Найти радиус сферы, вписанной в пирамиду ABCD, если BD= BC= 15, CD= 18, AB перпендикулярно плоскости BCD и равно 16.
20. Основание пирамиды SABCD- ромб с диагоналями AC = 8 и BD = 6; высота пирамиды H =2. Найти радиус сферы, вписанной в пирамиду, если H совпадает: 1) с SA; 2) с SB.
21. Основание пирамиды — ромб с диагоналями 6 и 8; высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей и равна 1. В каждый из трехгранных углов при основании пирамиды вписана сфера радиуса г так, что каждая сфера касается двух соседних; найти радиус г сфер.
22. Шар касается всех 12 ребер куба. Вычислить отношение объема той части шара, которая находится внутри куба, к объему куба.
23. Определить плоский угол при вершине правильной четырехугольной пирамиды, если центры вписанного и описанного шаров совпадают.
§ 9. ЦИЛИНДР, КОНУС, СФЕРА, МНОГОГРАННИКИ
285
24. Ребро куба равно a; AB— его диагональ. Найти радиус сферы, касающейся трех граней, сходящихся в вершине А, и трех ребер, выходящих из вершины В. Найти также часть поверхности этой сферы, которая лежит вне куба.
23. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно а. Найти радиус сферы, проходіщей через концы ребра AA1 и касающейся грани двугранного угла с ребром CC1 (AA1, BB1, CC9 DD1 — параллельные ребра куба, ABCD — его верхняя грань, A1B1C1D1 — нижняя).
26. Определить полную поверхность правильной треугольной пирамиды, зная поверхности S1 вписанного и S2 описанного шаров.
27. Высота правильного тетраэдра служит диаметром сферы, поверхность которой равна s. Вычислить площадь той части поверхности сферы, которая находится внутри данного тетраэдра.
28. В сферу радиуса R вписан правильный тетраэдр, и все его грани продолжены до пересечения со сферой. Линии пересечения граней тетраэдра со сферой вырезают на ее поверхности четыре сферических треугольника и несколько сферических двуугольников. Вычислить площадь каждого из этих двуугольников и треугольников.
29. В основании пирамиды с равными боковыми ребрами находится прямоугольник, стороны которого равны 30 см и 12 см. Высота пирамиды равна 8 см. В каждом из двугранных углов при основании пирамиды вписано по равному шару так, что каждый шар касается двух соседних; точки касания шаров к плоскости основания лежат на прямых, проходящих через середины его параллельных сторон. Найти радиусы шаров.
30. Дан правильный октаэдр. Радиус вписанного в него шара равен R. В центре одной из граней взята точка А. Вычислить сумму расстояний от А до каждой из остальных граней. Та же задача, если дан правильный додекаэдр.
§ 9. Цилиндр, конус, сфера в комбинации друг с другом, с плоскостями
и многогранниками
1. Прямой круговой конус касается вписанного в него шара по параллели 60°. Найти объем конуса, если радиус шара равен 2.
2. Найти объем шара, вписанного в конус, у которого высота равна h, а радиус окружности, лежащей в основании, равен г.
