Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
1840. На
4к' Д2
(2*2 + 1)2
_ 9у4 + 4у6 + 1
- {у2 + 1 + у6)3
(2*2 + 1)2
14 1 _ 3 27> ~ ~7'
9' 1843.
1
P
1842. г
а2 + б2 '
2/
1
R
2
лД 1 _ 1
"з~> ~ ~3'
1844. 3) Вся плоскость, кроме точки (0; 0); 4) х2 + у2 а2; Ь) ху > 0
(первый и третий квадранты); 6) х2 + у2 < 1; 7) вся плоскость, кроме
прямой у = х. Уравнения 1) и 2) определяют параболоиды вращения;
4
3) — поверхность вращения вокруг оси Oz кривой z= — и у = 0
(рис. 45); 4) полусферу; 5) конус, для изображения которого возьмем
ау и у = b, z2 = Ьх — параболы (рис. 46); 6) по-1
сечения: X
верхность вращения кривой z
с образующими у = кх, z ними гиперболами у
VT
у
0 вокруг Oz; 7) конус
и направляющими -h2
равносторон-имеющими вершины
к - 1 h, (х — h)(z + К)
на оси Oy и одну из асимптот на плоскости у = х (х = h, у = К); такие же гиперболы получаются в сечениях X = h или z = h (рис. 47)
Ответы
303
1845. s = \/р(р — х)(р — у)(х + у — р). Область существования функции: Q-Cx-Cp, 0<у<рих + у>р, т. е. множество точек внутри треугольника, ограниченного линиями х = р, у = р и х + у = р.
Рис. 45 Рис. 46
1848. AxZ = (2х - у + Ax)Ax = 0, 21, Ayz = (2у - х + Ay)Ay = -0,19, Az = AxZ + AyZ — AxAy = 0,03. 1849. Непрерывные и однозначные
Рис. 47
в области \у\ ^ \х\ функции z = +\/х2 — у2 и z = —\/х2 — у2 изображаются верхней и нижней поверхностями кругового конуса (с осью Ох). Примером разрывной функции, определяемой уравнением z =
304
Ответы
±
у2, может служить функция
при 0 <С ж < 1,
j2 _ у2 ПрИ I <i X < 2,
-\J X2 — у2 при 2 <С X < 3
и т. д. Прямые X = 1, ж = 2 и т. д. — линии разрыва. Изображением будут чередующиеся полосы верхней и нижней поверхностей конуса. Область определения этой функции \у\ <С |ж|, т. е. множество точек внутри острого угла между прямыми у = ±ж и на этих прямых.
1854. 2) Вся плоскость, кроме прямой у = —ж; 3) точки внутри эллип-ж2 у2
са — + — = 1 и на эллипсе; 4) вся плоскость; 5) точки внутри угла а2 о2
\у\ <С |ж| и на его сторонах; 6) квадрант плоскости ж J> 0 и г/ J> 0. Поверхность 2) цилиндрическая с образующими z = h, х + у = 4/h и направляющей z = 4/ж, г/ = 0 (рис. 48). Поверхности 5)-6) конические;
Рис. 48
поверхность 4)—параболоид. 1858. Зж(ж+2г/), 3(ж2 — у2). 1860.
1861.
X2 + у X2 + у2
1862
г/ і
1863.
3*(V* - Jx ди
1864.
1866.
9г
е 3^(I — ж J/)
9с
да с
ди
[х-у)2' [х-у)2' Зх{і/Ї- Jt)'
а — Ь cos а де Ь — a cos а дс ab sin а
'да Ы
ду
u2e~xy. 1867.
с
ди
с
ди
дх (ж + 2t)2' dt
Ответы
305
5ж da t да I ж dz
1868. — = —, — = . /---. 1874.
ix ¦
¦2t)2' дх 2Vx-хЧ2' dt \jl-xt2' дх
dz . -dz 2/1 a? I
-a sin (ах — by), — = bsm (ах —by). 1875. —
dy dx х2^х2_у2
dz \х\ dz Зу dz Зж
1 1 1876. У
ду xyVVf2' дх (Зу-2х)2' dy (Зу -2ж)2'
ди Ou Ou
1877. — = ctg (х -2t), — = -2ctg (ж - 2*). 1878. — = 2smj/x dx dt dx
du
xcos(2x + y), — = 2 sin ж cos (ж + 2y). 1885. 1) 0,075; 2) -0, Ie2 ^
Pd - 0,739. 1887.-0,1. 1888. 1,2тг дм3. 1889.0,13см. 1890. 1) dz =
у 1\ (1 ж \ X dt Ar + - dx + - + — dy; 2) ds = Int dx H--. 1891. Az =
кх УJ \x У J t
dz
= 0,0431, dz = 0,04. 1892.0,15. 1893. -ЗОтгсм3. 1895. — = -(e* +
dt v
t. , dz dy dz 2x ( X + e-* = -2ch*. 1897. — = еУ + хеУ-/. 1899. — = — 1 -- dx dx du у \ у
dz X /4 _|_ x\ 2900 1) ^Z ^Z ^U -\- ^Z ^V ^Z -\- ^Z
dv У \ У J dx du dx dv dx du dv'
dz dz dz dz dz у dz dz dz 1 dz du
TT = п7Г + 1я~' 2) TT = Уя---2 TT' TT = + 1901- я~ =
аг/ ow od ож ow ж^ dv dy du x dv dr
du du . du ( du . du \ dz
= dx-cosip+dy-smip'dp-= \~TxsmLp+YyCOSLp)r- ™*-l)m =
dz
= 2[(Ax + By) cos t-(Bx + Cy) sin t] = (A-C) sin 2t + 2B cos 2t; 2) — =
2e2t 2906 Л ^Z ^Z ^Z ^Z 2^Z ^Z 2) ^Z
e4t + 1 dx du dv' dy du dv' dx
dz Jy dz dz dz Jx dz ^qqj dy 2-х ^gQg j\ 3[у
du 2 Jx dv' dy du 2^/y dv dx у + 3 \j x'
2ue2x — e2y 3
2) 2"е2,_е2,- 1910- ±1- і»»- -і- 1912- і) (-і; з) и (-і; -і);
, , , dz 3 — X dz у dz у
2) (1; 1) и (-3; 1). 1913. - = --,- = -1. 1914. - = ?,
dz X dz a dz b dy x у
— = —. 1915. — =-— = -. 1918. / = —. 1919. -У-.
dy 2z dx с dy с dx Ay x
X2 + xy + y2 1 4 1 dz dz у
1920. — У y . 1921. -. 1922. -, -. 1923. — = 1, — = —.
xy 2 5 5 dx dy X — z
6y 2 2xy у2 — X2
1926. 6; 2; 0; 6. 1929.--y-; —; 0; 0. 1931 У y
X4' X3' ' (x2 + y2)2 ' (x2 + y2)2
~2ХУП,П . 1938. 1) -2T-(Sj/2 dx2-Axydxdy + x2dy2); 2) _У(ах~ХСІУ) _
улу хул
306
Ответы
1942.
dx2
d2z
дх dy
cPz_ _ ду2
з_9_ 9_) ди dv J
з_9_ д_\ ди dv J
— + —Yz ди dv J
