Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Нельзя обойти молчанием замечательную работу Грина «Опыт применения математического анализа к теории электричества и магнетизма» (1828 г.), в которой были заложены первые кирпичи фундамента теории потенциала, введены функции Грина и знаменитое преобразование объемного интеграла в по-
160
верхностный. Она послужила одним из истоков последующих работ Стокса, Томпсона и Тэта, Максвелла по интегральным преобразованиям в 50—70-х годах.
Трудно переоценить в теории функций роль равномерной сходимости рядов. Один из этих видов сходимости — простую равномерную сходимость в окрестности точки — ввел и изучил Стоке в 1848 г.
Заслуживают также внимания исследования Айвори (1824 г.) и Кэли (1848 г.) по шаровым функциям, де Моргана по логарифмическим признакам сходимости рядов (1839 г.) и по элементам теории роста функций (1866 г.), одна из первых попыток построения теории действительных чисел Гамильтоном (1844 г.) и т. д.
Как мы уже сказали, заход в теорию функций ее первого этапа совершил Генри Д. Стефен Смит (1826—1883). Его основные работы относятся к теории чисел. Но его статья «Об интегрировании разрывных функций» (1875 г.)—одна из лучших работ этого периода — явилась важным вкладом в теорию функций и множеств. Здесь он, независимо от Кантора и Дюбуа-Рей-мона, ввел приводимые множества конечных порядков; впервые построил примеры совершенных нигде не плотных множеств положительной и нулевой меры; независимо от Дарбу, Асколи, Томе определил верхний и нижний интегралы Римана и доказал их существование; предложил любопытное определение интеграла от ограниченной функции как среднего арифметического значения ее верхнего и нижнего интегралов, содержащее как частный случай определение интеграла Римана через совпадение граней интегральных сумм; упрочил и развил связь между теорией множеств и интегрированием, продемонстрировав силу намеченного Ганкелем теоретико-множественного метода. Небезынтересным историко-математическим вопросом является то, почему сам Смит не продолжил изысканий в этом направлении и, особенно, почему в Англии, где, казалось бы, условия для разработки теории функций были более благоприятными, чем в Италии, ее не стали разрабатывать до самого начала XX столетия?
Зато начало столетия знаменуется в Англии мощным подъемом исследований по теории функций и множеств, характеризуемым трудами таких ученых, как Эрнст Уильям Гобсон (1856—1933), Уильям Генри Юнг (1863—1942), Бертран Артур Уильям Рассел (1872—1970), Готфрей Гарольд Харди (1877— 1947) и многие другие.
Это был интересный в истории математики в Англии, да и не только в Англии, взрыв изысканий по теории множеств и функций. До 1900 г. там, кажется, не было опубликовано ни одной работы, кроме смитовской, по этой проблематике, и, например, основы интегрального исчисления, как отметил Гобсон в 1902 г., излагались в английских учебных руководствах так, как если бы Римана не существовало; за первое же десятилетие XX в. по-
161
явилось более сотни оригинальных статей, мемуаров, книг. Этот взрыв происходил не только в развитии английской математики в целом, но и — странным образом — в научном развитии отдельных математиков: чаще всего свои основные идеи математики разрабатывают в относительно молодом возрасте, Гобсон же пришел к теории множеств и функций, когда ему было за сорок лет, У. Г. Юнг — в возрасте около сорока, Рассел — когда его нозраст перевалил за тридцать, а Харди — около четверти века; они словно ждали определенного момента (и друг друга), копили для него (и для соревнования друг с другом) силы, и когда этот момент наступил, начался непрерывный поток их публикаций, достигший, например, свыше трехсот наименований у Харди и свыше двухсот у У. Г. Юнга (большая часть из которых относилась к теории функций и множеств).
Их исследования вместе с присоединившимися работами других ученых быстро охватили почти все разделы новой математической дисциплины: теории дифференцирования и интегрирования (Гобсон, У. Г. Юнг, Г. Юнг, Харди, Бромвич, Даниель, Пол-лард, Бёркил и др.), различные виды сходимостей функциональных рядов (Гобсон, У. Г. Юнг, Харди, Бромвич и др.), тригонометрические и другие разложения (Гобсон, У. Г. Юнг, Харди, Титчмарш и др.), расходящиеся ряды (Харди, Бромвич, Литл-вуд и др.), теорию точечных и абстрактных множеств (Гобсон, У. Г. Юнг, Рассел, Харди, Журден, Уайтсайд, Уайтхэд, Диксон и др.). К названным ученым присоединились вскоре многие.
Отправные пункты исследований англичан были разные: ранние идеи французов (Коши, Борель, Бэр), итальянцев (Пеано, Арцела, Чезаро), немцев (Кантор, Шрёдер); они сразу же оценили мемуар своего соотечественника Смита и опирались на него в своих первых работах (Гобсон, У. Г. Юнг); заметное влияние оказали работы американца Осгуда. В некоторых вопросах английские математики независимо подошли к решениям, уже полученным французами; в некоторых они продвигались в русле идей последних; кое в чем опередили и развили далее. Последующее изложение имеет целью наметить лишь отдельные иллюстрации высказанных положений.
