Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Фреше, чуть ли не с первых своих шагов в математике ставший на более общую точку зрения функционального анализа, а потому вынужденный изучать действительно-значные функции, заданные на абстрактных множествах, которые он называл функционалами, в своих попытках создать теорию интегрирования для таких функционалов столкнулся с тем фактом, что процесс построения мер Лебега и Лебега — Стилтьеса в том виде,
67 См. Медведев [2, с. 295—328].
68 О содержании их работ см. Медведев [2, с. 328, 329, 332—334].
68
как его осуществляли Лебег, Радон и У. Г. Юнг, оказывался непригодным, если подходить к нему с той степенью общности, которую желал Фреше: в этих построениях привлекались свойства именно я-=мерного евклидова пространства (нужно было, например, выделять интервалы, покрывающие рассматриваемое множество). Необходим был принципиально новый подход, который и был реализован им в 1915 г. в работах [15, 16].
Сущность его подхода состояла в следующем. Фреше отправлялся от совершенно абстрактных множеств и в качестве основного понятия ввел понятие аддитивного класса множеств или сг-кольца, как предпочитают говорить сегодня: класс M абстрактных множеств называется аддитивным, если из E^M следует, что 2 Et s M и Ei—Ej^M, где суммирование может быть і
как конечным, так и счетным [16. с. 250, 251].
Для множеств аддитивного класса он сформулировал понятие счетно-аддитивной функции множества, определил понятие вариации и дал разложение такой функции на разность двух неубывающих функций [16, с. 251, 252]. Это дало ему возможность определить понятие интеграла от функционала по аддитивной функции множества, заданной на сг-кольце M*9. Решающую роль в таком определении сыграло то, что мера рассматриваемых множеств вводилась не в виде специальной конструкции, а просто множество объявлялось измеримым или нет в зависимости от того, принадлежит ли оно исходному сг-кольцу или не принадлежит. Именно это позволило трактовать понятие интеграла столь общим образом, что в такой общности он применяется (и исследуется) до сегодняшнего дня. Разумеется, идею 0-КОЛЬ-ца множеств теперь можно вычитать у Бореля и Лебега, а также у Радона, но впервые осознанно сг-кольцом стал пользоваться Фреше.
Давнишнюю идею интеграла от функции точки по функции множества как некоторой сумматорной конструкции Фреше довел до ее завершения в смысле общности, и дальнейшее продвижение требовало иных конструктивных решений. Вместе с тем названные работы Фреше оказались первыми ласточками нового этапа развития теории функций действительного переменного, когда исследования в этой теории стали проводиться с применением средств топологии и функционального анализа.
И Лебег, и Фреше, а особенно Данжуа продолжали заниматься теориями дифференцирования и интегрирования и в последующий период, однако после 1915—1916 гг. уже не их работы определяли общую картину исследований в этих областях.
59 См. Песин [1, с. 143—145].
69
§ 8. Тригонометрические ряды
Теория тригонометрических рядов является одним из важнейших разделов анализа и теории функций, и ее разработка, начиная с XVIII столетия, неразрывно связана не только с развитием последних, но и во многом — со всем развитием математики и математического естествознания. Исследования по теории тригонометрических рядов, с одной стороны, требовали привлечения самых общих и самых тонких концепций и методов анализа и теории функций, а с другой — в ходе этих исследований возникали идеи и методы, имевшие значение, далеко выходившее за пределы собственно проблематики тригонометрических разложений. Недаром Лузин [1, с. 50] сравнивал положение тригонометрических функций в системе всевозможных ортогональных функций с положением множества целых чисел в системе всех действительных чисел.
Здесь нет нужды останавливаться на проблемах взаимосвязей теории множеств, теорий дифференцирования и интегрирования, общего понятия функции, многих более частных проблем разнообразных математических дисциплин с теорией тригонометрических рядов до начала XX столетия, так как эти взаимосвязи неоднократно характеризовались в не раз упоминавшихся книгах Медведева [1, 2], Песина [1], Хокинса [1], Граттен-Гюин-неса [1], особенно в книге Паплаускаса [1] и в приводимой в них литературе. Не менее прочными они оставались и в XX столетии, но их изучение историками математики, напротив, еще, по существу, не начато. Излагая далее историю разработки теории тригонометрических рядов в начале XX столетия в трудах французских ученых, мы постараемся отметить наиболее интересные, на наш взгляд, взаимосвязи.
Особенно тесными являются взаимосвязи теории тригонометрических рядов и интегрирования. Так, например, понятие ряда Фурье, коэффициенты которого определяются при помощи определенного интеграла, вообще неотделимо от понятия интеграла, поэтому с расширением одного из них почти автоматически происходит расширение другого. Известно, что само понятие интеграла Римана появилось в рамках теории тригонометрических рядов и что многие его свойства были установлены при разработке последней; так же обстояло дело с некоторыми обобщениями этого интеграла в XIX в.60 В некотором смысле противоположная ситуация сложилась в начале XX столетия: интеграл Лебега первоначально вводился для решения задач из других областей, однако сразу же после его введения он был применен Лебегом, а вслед за ним и другими для изучения тригонометрических рядов. Все же последние сыграли свою роль в установлении некоторых свойств интеграла Лебега.
