Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
115
Теорема существования. Для всякого поля SjjJ существует алгебраически замкнутое алгебраическое расширение
Обозначим через F множество всех неприводимых многочленов степени ге^-2 из кольца SJJ \х\. Каждому многочлену / ? F поставим во взаимно однозначное соответствие неизвестное yf и построим кольцо многочленов S? [У] относительно множества У всех этих неизвестных. Оно > содержит, в частности, многочлены / (yf) для каждого
/ (х) ? F. Пусть I — наименьший идеал кольца SJJ [У], содержащий все / (уf). Замечаем, что единица е Q I. В самом деле, допуская противное, будем иметь
е = Vifi (JHfi) + • • • + фл/fc (WA).
где фі, —многочлены из SJJ [У]. Присоединяя к S?
по одному корню многочленов flt ..., /?, получим расширение поля SJJ- Заменяя неизвестные IJfl, . . . , IJfh корнями соответствующих многочленов /i, . . ., /ft из этого расширения, придем к соотношению е = 0. Итак, /=^ SJJ [У].
По лемме Цорна (см. п. 1.5) идеал I содержится в некотором максимальном идеале Г кольца SJJ [У], отличном от этого кольца. В силу теоремы 3 из п. 4.1 фактор-кольцо SJJ = [У]/Г будет уже полем. Так как Г Ф SJJ [У], то П I' = О, и поэтому можно считать, что SJJ содержится , в SJJ. Каждый многочлен / (х) ^F обладает в поле SJJ хотя
бы одним корнем, например I' у f, так как /(/' + ?//) = = /'-(-/ (yf) = Г. Поскольку поле S? порождается (в смысле п. 3.2) этими корнями, то поле SJJ является алгебраическим расширением поля SJJ-' Итак, для всякого поля SjJ существует алгебраическое
расширение SJJ, в котором каждый неприводимый многочлен из кольца SJJ [х] имеет хотя бы один корень.
Исходя из произвольного поля SJJ, построим возрастающую последовательность полей
SjSo = ^c=Sp1C=SJJ2C= ...
' такую, что каждое последующее поле SJJn +1 является
алгебраическим расширением предыдущего поля SJJn и всякий неприводимый многочлен из кольца SJJn [®] обладает
8* 116
^КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРІ
ІГл. II
в поле SjSrl+ 1 хотя бы одним корнем. Пусть U — объединение этой цепочки. Согласно п. 2.3 Я есть поле. Поскольку поле SjS7l будет алгебраическим расширением поля SJS для каждого п — 1, 2, . . то Я также является алгебраическим над SjS- Если / (X) — а0 + ахх + . . . + akxh — некоторый неприводимый над R многочлен из кольца Я Ы, то его коэффициенты а0, сI1, . . ., лежат в некотором поле ^n., и поэтому / (х) принадлежит кольцу SjSnIa;]. Ясно, что / (ж) будет неприводимым многочленом над полем SJS71 и по построению обладает в поле SjSn+і, а следовательно и в поле й, хотя бы одним корнем. Таким образом, 5Ї есть алгебраически замкнутое алгебраическое расширение поля S?.
Справедлива также следующая теорема единственности, которую мы приводим без доказательства.
Теорема единственности. Любые два алгебраически замкнутые алгебраические расширения Я, Я' поля P эквивалентны над Р, т. е. существует изоморфное отображение поля Я на поле Я', тождественное на Р.
Отсюда, в частности, следует, что алгебраически замкнутое алгебраическое расширение Я поля P содержит (с точностью до эквивалентности над Р) все алгебраические расширения поля Р.
Действительно, пусть Q — произвольное алгебраическое расширение поля P и Ш' — алгебраически замкнутое расширение поля Q. Так как 5Ї' будет алгебраическим расширением Р, то S' эквивалентно Я над Р. Отсюда следует, что Q будет эквивалентно некоторому подполю поля Я.
Алгебраически замкнутое алгебраическое расширение поля всех рациональных чисел называется полем всех алгебраических чисел.
Пусть дано поле P и некоторое его расширение SjS. Конечная система элементов U1, ип из SjS называется
алгебраически независимой над полем Р, если для любого многочлена / (хи . . ., хп) от неизвестных X1, ..., Xn с коэффициентами из поля P истинна импликация
f (щ, ...,Un) = Q=^f (Xi, .. ., хп) = 0.
Произвольная система 5 элементов из SjS называется алгебраически независимой над полем Р, если любая КОЛЬЦА И ТЕЛА
117
конечная часть ее алгебраически независима над Р. Множество всех алгебраически независимых над P систем элементов из частично упорядочено по теоретико-множественному включению, причем, если системы S1 S g^g ... алгебраически независимы над P, то их объединение S также алгебраически независимо над Р. По лемме Цорна для всякой алгебраически независимой над P системы элементов S и я SjS существует в JfS максимальная алгебраически независимая над P система элементов Sraax. Подобно тому, как доказывается, что все максимальные линейно независимые системы векторов данного линейного пространства имеют одну и ту же мощность, можно доказать, что все максимальные алгебраически независимые над P системы элементов SjS также имеют одну и ту же мощность, которая называется степенью трансцендентности поля относительно Р.
Пусть S — произвольное множество алгебраически независимых над P элементов из Каждому элементу и Q S сопоставим неизвестное х, и пусть X — множество всех таких неизвестных. Соответствие
^1' ---'xnI fIui.....ui (/, g ?Р [X], Xi, ...,Xn QX)
g (X1, . . . , Xn) g(uU...,Un) '
