Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
7* 100
КЛАССЙЧЁСКЙЁ АЛГЕБРЫ
[Гл. II
Следовательно, алгебра (G, _1) есть группа, и первоначальная операция : на множестве G выражается через операции умножения и обращения формулой (1).
Теорема 1. Если отображение ср группы (3 = = (G, •, в группу (3 = (G, _1) сохраняет операцию умножения, т. е. ф (ху) = ф (х) ф (у) для всех х, у из G, то ф переводит единицу группы <3 в единицу группы @ и является гомоморфизмом.
Действительно, пусть е — единица группы (3 и е = = <р (е). Так как ее = е, то ф (е) ф (е) = ф (е), т. е. ее — е, откуда следует, что е есть единица группы <3. Пусть х QG, у = аг1. Поскольку ху = е, то ф (ж) ф (у) = ф (е) = е. Следовательно, ф (х_1) = ф (у) = (ф (х))'1 и поэтому ф есть гомоморфизм из @ в
Для фиксированного элемента а и произвольного элемента X группы <3 отображение фа: х -> а-1 ха является взаимно однозначным отображением группы <3 на себя, поскольку каждый элемент у 6 (3 имеет в @ единственный прообраз ауа'1. Далее имеем
Фа 0*У) = (ХУ) а = Ci-1Xa-a-iya = фа (х) фа (у).
Следовательно, отображение фа — автоморфизм группы®.
Автоморфизм фа называется внутренним автоморфизмом группы (3, производимым элементом а.
Подгруппа N группы (3 называется инвариантной или нормальным делителем в (3, если она отображается на себя при любом внутреннем автоморфизме группы (3.
Если H есть подгруппа группы (§, то множество элементов вида ha, где h — произвольный элемент из Н, а а — фиксированный элемент из (3, называется левым смежным классом группы <3 по подгруппе H и обозначается На. Аналогично определяется правый смежный класс аН. Ясно, что подгруппа H тогда и только тогда является нормальным делителем в (3, когда
На = аН
для любого элемента a Q (3.
Для любой подгруппы H группы <3 левые смежные классы На, Hb или не имеют общих элементов, или совпадают. Действительно, если На П Hb Ф 0, то, взяв §3] ГРУППОИДЫ И ГРУППЫ
101
элемент с из этого пересечения, будем иметь
с = JilCi = h2b
для некоторых hu h2 из Н. Отсюда а = Ьг^іиф, и потому На Hb. Аналогично b = Ji^hlU и, следовательно, Hb s ^ На. Получаем На = Ш>.
Таким образом, группа @ распадается на попарно не пересекающиеся левые смежные классы по подгруппе Н;
& = H + Ha2 + Ha3 +
где знак + понимается в смысле объединения классов. Аналогично получается разложение группы @ в теорети-ко-гмножественную сумму правых смежных классов по произвольной подгруппе Н.
Если число смежных классов группы @ по подгруппе H конечно и равно / ,то H называется подгруппой конечного индекса в группе ($, а число / называется индексом H в
Теорема 2. Смежные классы по произвольной конгруенции G группы @ являются смежными классами по некоторому нормальному делителю этой группы. Обратно, каждому нормальному делителю N группы @ отвечает конгруенция в ($, смежные классы по которой являются смежными классами <3 по N. Действительно, пусть
N = [х \х Є G, xQe},
где е — единица группы Тогда N есть подгруппа группы так как, если хве, уве, то х~Юе, худе по определению конгруенции (см. п. 2.4). Подгруппа N инвариантна в поскольку из хВе следует g~ 1XgQe. Легко установить, что для произвольного элемента а из @ выполняется равенство [ale — Na.
Обратно, пусть N — нормальный делитель группы Отношение
aQb о Na = Nb (a, b ?G)
является, очевидно, конгруенцией группы ® и Ыд = Na при любом а из G.
Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между конгруенциями и нормальными делителями группы. Поэтому фактор-группа группы <8 по 102
^КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРІ
ІГл. II
конгруенции Э называется также фактор-группой группы @ по отвечающему этой конгруенции нормальному делителю N и обозначается (&/N. По определению фактор-системы (см. п. 2.4) имеем
Na-Nb = Nab1 (Na)-1 = Na'1. (7)
Пусть = (Р, • ) — полугруппа с единицей е. Элемент а 6 P называется обратимым, если существует такой элемент or1 Q P, что аа'1 = а~ха = е. Поскольку для каждого обратимого элемента а из P элемент аг1 единственен, то на совокупности G всех обратимых элементов полугруппы S? имеется операция обращения Совокупность G замкнута также относительно умножения и, следовательно, (G, •, -1) есть группа. Эта группа называется группой обратимых элементов данной полугруппы с единицей.
Группа обратимых элементов симметрической полугруппы ©А (см. п. 3.1) называется симметрической группой и обозначается также ©д или ©|а| •
Если (G, •, _1> — группа, то для каждого ее элемента g отображение Tg: х xg (х ? G) множества G в себя является обратимым элементом симметрической полугруппы В силу теоремы 1 из п. 3.1 и теоремы 1 из настоящего пункта справедлива
Теорема 3. Всякая группа (G, ¦, _1> изоморфно вложима в симметрическую группу ©о
Если W= (A, Q) — произвольная алгебраическая система, то совокупность всех ее автоморфизмов (см. п. 2.2) составляет группу относительно операций умножения и обращения отображений, рассмотренных в п. 1.3. Эта группа называется группой всех автоморфизмов системы її и обозначается Aut її. Подгруппы группы Aut її называются просто группами автоморфизмов алгебраической системы її. В частности, внутренние автоморфизмы любой группы @ составляют подгруппу группы Aut которая называется группой внутренних автоморфизмов группы
