Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим следующие примеры линейных алгебр. 124
^КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРІ
ІГл. II
Прежде всего, поле комплексных чисел является алгеброй над полем вещественных чисел, для которой числа 1, і составляют базу с таблицей умножения:
la = Ij і . J = г . І = Ji
1.
В середине прошлого века Гамильтон нашел алгебру размерности 4 над полем вещественных чисел. Эта алгебра является ассоциативным телом, но не коммутативна. Элементы ее были названы кватернионами.
Тело Q кватернионов имеет своей базой символы 1, і, ], к, из которых первый служит единицей алгебры Q и отождествляется с вещественным числом 1, а остальные перемножаются согласно следующей таблице:
і2 =
Ц =
)к =
кі —
/2 = к2 = — ji = к, — kj = ї, — ik = /.
1,
Эта таблица хорошо запоминается при помощи схемы, указанной на рис. 1. Таким образом, каждый кватернион однозначно записывается в виде линейной формы
а + ?i + у/ + OA
от элементов базы l,i, j,k с действительными коэффициентами а, ?, у, б. Перемножаются кватернионы в соответствии с дистрибутивным законом и таблицей умножения базы.
Из таблицы умножения базы видно, что алгебра Q1 не коммутативна, но ассоциативна, так как для любых базисных элементов х, у, z справедливо равенство (ху) z = х (yz).
Неотрицательное вещественное число Ct2 -f- ?2 + у2 + + S2 называется нормой кватерниона д = а -f ?i -f- у/ + + 8к и обозначается N (q).
Кватернион а — ?i — у/ — б к называется сопряженным к кватерниону q — а + ?? + у/ + бк и обозначается q-
Рис. 1. КОЛЬЦА И ТЕЛА
125
Непосредственные вычисления показывают, что
Яі + q» = Яі + = ^aJi. Щ = Щ,
qq = qq = N{q), N (g1?a) = JV {qt) N (g2),
где q, qu
Если дфО, то, полагая
будем иметь
q-iq = qq-i-_= і.
Таким образом, каждый элемент q Ф 0 мультипликативной полугруппы алгебры D обратим, и поэтому алгебра Cl является телом.
Кватернионы, хотя и не столь широко, как комплексные кчисла, все же используются как в математике, так и в механике. Рассмотрим одно из приложений их в алгебре, а именно задачу о композиции вещественных квадратичных форм, т. е. задачу о представлении произведения ДВУХ сумм квадратов переменных в виде суммы квадратов билинейных форм от этих переменных.
Простейший закон композиции квадратичных форм (от двух переменных) дают комплексные числа. Если и — X1 X2I, V = Tf1 jT у2і, то формула N (и) N (v) = = N (uv) запишется в виде
(^1 + ?2) (У\-ТУІ) = ^y+ toft + ^i)2.
Взяв кватернионы и = X1 + ж2і + X3 і + X Ji, V=^yl + yai + y3j + у Je,
получим закон композиции квадратичных форм от четырех переменных
(xl + xl + xl + xl)(yl + yl + yl + yl) =
= (®іУі — — ХзУз — ХіУі)2 + (®1 Уі + ХіУі+ ЖзУі— Xiy3)2 + + (хіуз + хзуі + xtf3 — x^yi)2 +
+ (ХіУі + хІУІ ~Ь Xzy3-х3у 126
КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ
[Гл. IX
Поиски закона композиции для форм от восьми переменных привели Кэли в 50-х годах прошлого века к открытию особой алгебры размерности 8, элементы которой получили название чисел Кэли.
Пусть К — множество упорядоченных пар (qlt q2) кватернионов qu q2. Операции сложения и умножения на вещественное число а в К определим формулами
(?i, 0s) + fa, гг) = ІЧі + П, q2 + r2), а (Яи Яг) = (a?i. соотносительно этих операций множество К становится линейным пространством над полем вещественных чисел (т. е. в К имеют место тождества 1)—3) из п. 4.1 и тождества 5)—8) из настоящего пункта).
Операцию умножения в этом пространстве зададим формулой
(їй Яг) (г и Га) = ^r1 — r2g2, ^ql + ^r1), (2)
где г — сопряженный кватернион. Аксиома 9) очевидна. Дистрибутивные законы умножения относительно сложения также легко проверяются. Таким образом, ft = = {К, + , {соа}) есть линейная алгебра над полем действительных чисел. Эта алгебра и называется алгеброй Кэли.
Пары вида (q, 0) образуют подалгебру, изоморфную алгебре кватернионов, причем изоморфизмом является отображение (д, 0) ->• q. Поэтому число Кэли вида (q, 0). отождествляется с кватернионом q, и тем самым алгебра кватернионов Q вкладывается в качестве подалгебры в алгебру Кэли Я.
Так как
g2) = (?1, 0) + (За, 0) (0. 1).
то, полагая е = (0, 1), будем иметь для каждого числа Кэли однозначную запись
Qi + Я2е, (3)
где qu q2 — кватернионы.
Если
Яі = «о -f CX1J + а2/ + а3к, q2 = a4 + аьі + а6/ + a7&, КОЛЬЦА И ТЕЛА
127
то число Кэли.д! + д2е может быть записано и притом однозначно в форме
Ot0 + CtlI + a2J + азк + «4е ~Ь &5ie + «б/« + а7ке, (4)
где а0, . . а7 — вещественные числа. Следовательно, элементы 1, і, j, к, е, ie, je, ке составляют базу алгебры Кэли над полем вещественных чисел.
Практически удобнее записывать числа Кэли не в форме (4), а в форме (3) и пользоваться при вычислениях соотношениями
е2=—1, eq = qe, p-qe = qp-e,\
f (5)
pe-q = pq-e, pe-qe=—qp, J
гдвр, q — кватернионы. Эти соотношения непосредственно следуют из формулы (2).
Соотношения (5) позволяют составить таблицу умножения базы 1, і, j, к, е, ie, Je, ке. В частности, имеем
i-Je = Ji- е = — ке, ij-e = ке.
Следовательно, алгебра Кэли не ассоциативна.
