Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
? = ат] + Б, I < а, ті < ?.
Действительно, пусть а = о (Л), ? = о (В). Тогда a? есть тип произведения В X А, вполне упорядоченного лексикографически. Так как ? << a?, то ? есть тип некоторого отрезка Р(Ь> а), который состоит из пар, строго меньших пары (Ь, а), т. е. из пар (у, х) (у ? В, х ? А), у которых либо у <С Ь, либо у = b и х < а. Обозначим через Pa, Рь отрезки вполне упорядоченных множеств МОДЕЛИ И АЛГЕВРЬЇ
87
А, В, определяемые соответственно элементами а, Ъ. Если ? = о (Pa), 4 = 0 (Рь), то ? = аг] + так как
P(b,a)-PbX Л U (6, Ра),
где (&, Ра) состоит из пар вида (b, х), х ? Pa.
Легко видеть, что числа г] определяются условиями теоремы 2 для данных чисел а, ?, ? однозначно.
Следствие. Для любых порядковых чисел а, из которых а >> 0, существуют такие порядковые числа I, Y], что
? = СИ] + Е, К а. (5)
Для доказательства достаточно применить теорему 2, полагая ? = ? + 1-
Теорема 3. Для любого бесконечного крадиналъно-го числа а имеет место равенство
X0Ct = а.
Пусть а — некоторое порядковое число мощности а. Ввиду (5) существуют кардинальные числа г], п такие, что
OL = СОТ) -f- п, п <с 0).
Обозначим мощность т] через Ь. Так как п конечно, то ввиду (4) имеем
а = х0Ь, х0а = N„6 = к0Ь = а.
Следствие 1. Если хотя бы одно из кардинальных чисел а, b бесконечно, то
а + 6 = max (а, Ь). Действительно, пусть, например, а>В. Тогда
а<а + Б<а + а = 2а< х0а = а,
откуда а + b — о.
Из теорем 1, 3 получаем также
Следствие 2. Для любого бесконечного кардиналь- . ного числа а имеет место равенство
а + а + а+ . . . = а,
где сумма слева содержит конечное или счетное множество слагаемых. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
[Гл.
Примеры и дополнения
1. Выписать все разбиения множества А = {а, o, с, с?}, отвечающие различным конгруенциям алгебры {a, f), где f — унарная операция, заданная таблицей
I а Ь с d\ Vbade) '
2. Пусть ф— декартово произведение моделей SK1=: ({О, і}, <), 9? — ({2, 3}, О и р; = 2)—ядерные конгруенции в Ф, отвечающие проектированиям я^: Ф ->• Jft;. Показать, что каждое из канонических отображений
Ф/РІ - Ф/р2
является изоморфизмом.
3. Если хотя бы одно из кардинальных чисел a, ft бесконечно, то
ab =max (а, Ь) (Хаусдорф 168], стр. 77). ГЛАВ А II
КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ § 3. Группоиды и группы
3.1. Группоиды и полугруппы. Алгебра типа (2) называется группоидом. Как правило, основная операция группоида называется умножением. В этом случае группоид называется мультипликативным. Результат применения операции умножения к элементам х, у группоида называется их произведением и обозначается х у или просто ху. Иногда основная операция группоида обозначается знаком + и называется сложением. В этом случае группоид называется аддитивным.
Пусть @ = {G, • ) — мультипликативный группоид. Элемент е QG называется правой единицей группоида если хе = X для всех элементов X QG. Левая единица группоида определяется аналогично. Элемент е QG называется двусторонней единицей группоида ® или просто единицей, если он является одновременно левой и правой единицей этого группоида. Никакой группоид не может иметь более одной единицы, так как если хе = ex = х и хе' = е'х — X для всех X из G, то е' = е'е = е. Если (S= (G1 +) — аддитивно записанный группоид, то элемент O^G, обладающий свойством ж-|-0 = 0-|-л: = ж для всех X QG, называется нулем.
Подалгебры (см. п. 2.3) группоидов называются подгруппоидами. Заметим, что подгруппоид группоида <3, обладающего единицей е, может не иметь единицы. Например, <{1, 2, 3, . . .}, • ) есть группоид с единицей 1. Однако его подгруппоид ({2, 4, 6, . . .}, ¦ ) не имеет единицы, 90
^КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРІ
ІГл. II
Группоид @ называется идемпотентным, если хх — х для всех ж из
Группоид @ называется коммутативным, если ху = = ух для любых элементов X, у из
Если для любых элементов х, у, z группоида @ имеет место ассоциативный закон х (yz) = (ху) z, то группоид @ называется ассоциативным или полугруппой. Подалгебры полугрупп называются подполугруппами.
Важными примерами полугрупп служат полугруппы отображений множеств в себя (см. п. 1.3). Полугруппа всех отображений данного непустого множества А в себя называется симметрической полугруппой отображений множества А в себя. Условимся обозначать ее или
Теорема 1. Всякая полугруппа @ = (G, • ) изоморфна подполугруппе симметрической полугруппы отображений в себя множества G, пополненного, быть может, еще одним вспомогательным элементом.
Предположим сначала, что полугруппа (S содержит единицу е. Каждому элементу g ? G поставим в соответствие отображение Tg множества G в себя такое, что хТg= — xg (х 6 G). Так как
xTgh = X (gh) = (xg) h = (xTg) Th = XTgTh,
то Tgh = TgTh- Следовательно, соответствие g->¦ Tg есть гомоморфизм полугруппы @ на подполугруппу из (Sq. Поскольку еТg = g, eTh = h, то различные элементы из G переходят при этом в различные отображения из ©G и соответствие g ->- Tg есть изоморфное отображение данной полугруппы & на подполугруппу из
Если @ не содержит единицы, то добавляем к G вспомогательный элемент е QG и полагаем eg = ge = g, ее = е (g(zG). Новая совокупность G' = G \J {е} относительно только что определенной операции умножения будет полугруппой, содержащей @ в качестве подполугруппы. Представляя элементы полугруппы ($' = (G', ¦ ) отображениями, мы вместе с тем представим отображениями и элементы (§.
