Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Действительно, в качестве системы Ш и гомоморфизмов ба возьмем декартово произведение S3 и проектирования яа. Согласно ?), существует такой гомоморфизм 6 системы ® в систему что
С другой стороны, согласно теореме 1, существует гомоморфизм у системы 9І в систему ф, для которого
= fix« (а 6 А).
(4)
Ka — .
Сравнивая (4) и (5), получаем
ла = 8ула, Ka = у8ка. Ввиду полноты систем жа и Ka отсюда следует $у = е,, уб = 8а,
(5)
(6) МОДЕЛИ И АЛГЕВРЬЇ
75
где E1, є2 — тождественные отображения Ф и Sft на себя. Из (6) вытекает (см. п. 2.2), что 6 и у суть изоморфизмы. Итак, отображение у есть изоморфизм 9? на ф, удовлетворяющий соотношениям (5), что и требовалось.
Согласно теореме 2 условия а), б) характеризуют декартово произведение с точностью до изоморфизма. Отсюда видно, что эти условия могут служить и в качестве второго определения декартова произведения. Первое определение дает явную конструкцию декартова произведения. Второе определение описывает лишь свойства декартова произведения и может быть названо поэтому аксиоматическим определением. При аксиоматическом определении надо отдельно доказывать существование декартова произведения. Это — недостаток аксиоматического определения. Преимуществом аксиоматического определения служит то, что оно формулируется лишь в терминах гомоморфных отображений и не содержит упоминаний элементов рассматриваемых алгебраических систем. Правда, косвенно ссылки на элементы систем в теореме 2 есть, так как полнота системы гомоморфизмов ла определяется с помощью элементов ф. Однако и эти ссылки можно исключить, если воспользоваться следующим определением.
Система гомоморфизмов ба (а ? А) алгебраической системы Ж в системы SJIcc называется квазиполной, если для каждых эндоморфизмов (гомоморфизмов в себя) Y1, Y2 системы 3? из истинности всех равенств
TiSct = Y2^« (а 6 А)
следует Yi = Ya-
Из доказательства теоремы 2 видно, что условие а) можно заменить требованием квазиполноты системы гомоморфизмов ееа (а?Л). Ясно также, что всякая полная система гомоморфизмов является квазиполной.
Понятия, которые можно определить, пользуясь лишь понятием гомоморфизма, называются категорий-ными. Таким гобразом, можно сказать, что теорема 2 дает категорийную характеристику декартовых произведений.
Из теоремы 2 непосредственно следует, что декартовы произведения соответственно изоморфных алгебраическцх 76
0БЩЇЇЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. 1
систем изоморфны. Однако это обстоятельство мы сформулируем более точно в виде следующего общего утверждения.
Теорема 3, Рассмотрим декартовы произведения ф = [] gjla, ф* = [] однотипных алгебраических си-
стем. Пусть существуют взаимно однозначное отображение ф множества А на множество В и изоморфизмы Tpa систем SJla на 9Лг*ф (а ? А). Тогда существует изоморфизм у системы ф на ф*, для которого яа\ра — ухіаср (at А).
Рассмотрим гомоморфизмы = лзф-іі|^ф-і системы ф на 3Jl?(??5). Эти гомоморфизмы удовлетворяют требованиям a), ?) теоремы 2, и потому найдется изоморфизм у системы Ф на ф*, удовлетворяющий требованиям
лрф-і'Фрф-і = уя§.
Отсюда получаем Haty0i = уя«<р.
Теорема 3 пок'азывает, что с точностью до изоморфизма декартово произведение не зависит от порядка нумерации сомножителей индексами вспомогательного множества. Вследствие этого теорема 3 называется иногда законом коммутативности декартовых произведений. Обычный закон ассоциативности также переносится на декартовы произведения и может быть записан в следующей общей форме.
Теорема 4. Пусть множество индексов А в декартовом произведении Ф = И ЗЛа разбито на попарно не пересекающиеся подмножества Ay (у ? С). Тогда ф* = [] (П SJlaJ
7ЄС OteAv
изоморфно ф= [] SKcc-а?А
Введем обозначения: ф7= Jj SHa, —проектирова-
ниє фу на Жа, лV — проектирование ®* на и ла — проектирование ф на SJla.
Рассмотрим гомоморфизмы: ка = я*я? (а ? Av) системы ф* на SJla. Покажем, что Ka и Ф* удовлетворяют требованиям теоремы 2. Квазиполнота системы гомоморфизмов ха очевидна, так как если yt, у2 — эндоморфизмы, МОДЕЛИ И АЛГЕВРЬЇ
77
то из равенств y1ka — Уг^а вытекают соотношения
(Vi4) К = «2 (<*?AV).
Но система гомоморфизмов полна для lSiv, и потому ^л* = Y2^v ІУ G С). В свою очередь система гомоморфизмов Jt^ полна и потому Yi = Y2-
Проверим условие ?). Пусть заданы гомоморфизмы ба произвольной системы SOft в системы 331« (v^A). По теореме 1 для каждого у найдется гомоморфизм рт системы SOft в систему для которого
Sa = PvJta (a 6 Av). (7)
Согласно той же теореме 1 найдется гомоморфизм р системы SJft в произведение 5D* = [] удовлетворяющий соотношениям
pv = pn? (у Є С). (8)
Из (7) и (8) получаем
6a = pJt^rtV = рха (ос? А),
и свойство ?) доказано. Из свойств a), ?) системы {ка}, согласно теореме 2, вытекает существование требуемого изоморфизма a системы ф* на удовлетворяющего при том соотношениям
= ояа (a. ? А).
Говорят, что алгебраическая система 331 разлагается в декартово произведение систем SJla (a ? А), если SOft изоморфна декартову произведению П ^Ofta ¦ Вопрос об единственности такого разложения требует более детальных рассмотрений. Здесь мы ограничимся формулировкой одного довольно очевидного критерия разложимости, который тем не менее оказывается полезным в ряде случаев. Рассмотрим какое-нибудь декартово произведение
