Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим m-уноиды сигнатуры Q = {/j| і 6 /}, где |/| = ш. Тождества] этой сигнатуры могут быть лишь следующих четырех видов:
Тождество вида г) равносильно тождеству х = у, означающему, что соответствующая алгебра единичная. Далее мы будем рассматривать лишь многообразия ш-уноидов, которые можно охарактеризовать тождествами вида а). Они будут называться в дальнейшем многообразиями 1-го рода ш-уноидов.
Итак, пусть задана совокупность тождеств
(і)
Эта совокупность определяет некоторое многообразие Й m-уноидов. Совокупности (1) ставим в соответствие множество определяющих символов V = {vj \ і ? 1} и совокупность определяющих соотношений в классе полугрупп
Символы Vi и соотношения (2) определяют полугруппу Я. Можно предполагать, что полугруппа Я содержит элементы Vi, которые порождают ее и связаны в ней соотношениями (2). Изменится ли полугруппа Я, если многообразие й будет задано не системой тождеств (1), а какой-нибудь иной равносильной системой? Отрицательный ответ легко получается из следующего основного утверждения.
Теорема 1. Произвольное тождество
а) Ux- -Zife (*) = Zji-- -U1 (*)> 6} U1-.. Uk (з) =
в) Zn • • ¦ Zib(S) = Zji • • • Zji (у),
г) Ux--- Uk (х) = у.
vhi ¦ "l^n= ••• 1W
(2)
Zii •• • Us (®) = Zji • • • Zjf (ж)
(3) 350
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
тогда, и только тогда вытекает из совокупности (1), когда соответствующее соотношение
является следствием (в классе всех полугрупп) соотношений (2).
Иначе говоря, тождество (3) тогда и только тогда истинно в многообразии 5?, определенном аксиомами (1), когда в полугруппе Sf, заданной порождающими и определяющими соотношениями (2), истинно соотношение (4).
Пусть соотношение (4) вытекает из совокупности (2). Возьмем какую-нибудь алгебру (? = (С, Q) из многообразия й, определяемого тождествами (1). Всевозможные отображения f: C-^-C образуют полугруппу (см. п. 3.1) относительно операции суперпозиции *. Среди элементов ©с находятся и функции /і (і Є I) из алгебры (5. Эти функции удовлетворяют тождествам (1), которые при помощи операции * могут быть переписаны в виде
По условию в каждой полугруппе, в которой существуют элементы Vi, удовлетворяющие соотношениям (2), эти элементы удовлетворяют и соотношению (4). Согласно (5) в полугруппе ©с элементы /і как раз удовлетворяют соотношениям (2). Поэтому В ©Cf должно быть истинным соотношение (4), а следовательно, тождество (3) истинно в классе Я.
Обратно, пусть тождество (3) является следствием тождеств (1). Рассмотрим какую-нибудь полугруппу Si, в которой существуют элементы Vi (і ? I), удовлетворяющие соотношениям (2). Присоединяя к 21 новый элемент е, подчиненный условиям ее = е, ех = же = X (х 6 21), получим полугруппу Ste с единицей е, содержащую 21 в качестве своей подполугруппы. Каждому элементу Vt ставим в соответствие функцию /і (ж), определенную формулой
Vi^ • • • Z^ig — • • •
(4)
fiu*... */iUA-/jA1* ---4Zjwx-
(5)
Ii(X)=ViX (x?<ae).
(6 ОВІДИЕ СБОЙСТЙА
351
Из соотношений (2) теперь видно, что функции /г в Яе связаны тождествами (1). По условию из тождеств (1) вытекает тождество (3). Полагая в нем х = е и пользуясь равенствами (6), получаем (4).
Теорема 1 показывает, что построенное выше отображение совокупности всех многообразий 1-го рода ш-уноидов на совокупность всех полугрупп с выделенными ш порождающими элементами является взаимно однозначным. При этом полугруппы следует считать одинаковыми, если существует изоморфизм, переводящий выделенные порождающие одной полугруппы в одноименные выделенные порождающие другой полугруппы.
Отметим, что при указанном отображении конечно аксиоматизируемым многообразиям отвечают конечно опре-' деленные полугруппы. Далее, если многообразие Я содержит подмногообразие й, то полугруппа, отвечающая многообразию ?, является фактор-полугруппой полугруппы, отвечающей й.
Условие, что в рассматриваемых полугруппах должны быть выделены ш «сигнатурных» порождающих, существенно. Ясно, что различным многообразиям могут отвечать изоморфные (с абстрактной точки зрения) полугруппы, в которых лишь по-разному выбраны порождающие.
Мы хотим теперь воспользоваться соответствием между многообразиями уноидов и полугруппами для решения вопроса о том, сколько существует различных многообразий алгебр заданной сигнатуры.
Теорема 2. Совокупность многообразий 1 -уноидов счетна. Совокупность всех многообразий алгебр фиксированной сигнатуры ft, содержащей более одного функционального символа или один неунарный функциональный символ, имеет мощность 2' o '+к°.
Рассмотрим сначала 1-уноиды. Сигнатура их состоит из одного унарного функционального символа /. Вводим обозначения
f°x = x, fx = /.../ (ж).
Пусть 931 — какое-нибудь многообразие 1-уноидов. Среди всех тождеств вида
?х = ?х (к<1; к, г = 0, 1, 2, ...), (7) 352
МЙОҐООБ^АЗЙгі
tra. VI
истинных в 9УЇ, ищем такие, у которых число I наименьшее, а среди последних выбираем то, у которого к наименьшее. Пусть найденное тождество есть fx = fx. Рассуждая так же, как и в п. 3.1 при изучении полугрупп с одним порождающим, легко убеждаемся, что все тождества вида (7), истинные в 5Ш, являются фрмальными следствиями минимального тождества fx = fx.
