Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
®
кая-нибудь подсистема системы Я, либо содержащая целиком амальгамируемую подсистему ($, либо не имеющая с ней общих элементов, то
« = П®(И|(1©)*®,
Є
где множитель либо пустой, либо является абсолютно свободной подсистемой системы Я, не содержащей элементов системы (S.
В самом деле, группируя множители Яг-, имеем
©
Применяя теоремы 4 или 5, получим ®
Применяя еще раз указанные теоремы, получим требуемое разложение для 95.
Будем говорить, что разложение
2С = П**і Ш)
є
какой-нибудь системы Я является подразложением (или продолжением) разложения Я = П@95ц. (fj, ? М), если 334
.Квазимногообразия
{Гл. V
существует такое разбиение I=IjIti (fi. ? М), что
S
Теорема 9. Любые два смешанно свободных разложения произвольной системы SI над одной и той же амальгамируемой подсистемой Є имеют общее смешанно свободное подразложение над (?. Пусть
= № 76/) (4)
? е
—заданные разложения 21. Согласно следствию 8
яг=aj, • П® (и* п =• П® (я* n (5)
где SJi, SSj-подходящие абсолютно свободные подсистемы системы St или пустые множества. Из разложений (5) получаем
И = ДЙ(ИІП®Л*П*®»=П?(ЯІП®>)'D^SBj-
t,J 's. і і,з j
Согласно теореме 6 отсюда следует, что П * SJi = П * SSj-.
* з
Абсолютно свободные системы разлагаются в абсолютно свободные произведения своих абсолютно1 свободных подсистем ранга 1", причем это разложение однозначно. Поэтому
ІЬ»І=П*»І=П*8» №*).
где %h~ абсолютно свободные системы ранга 1. Из однозначности разложения следует, что для подходящих разбиений
K = UKt= \}K'j
получим
»i = n*S* (*€?|), SSi= П*^
и поэтому разложение
Я = П«№П®і)*ІЬйк
ij ® ft
является искомым общим подразложением разложений (4). § 12]
СВОБОДНЫЕ СИСТЕМЫ И КОМПОЗИЦИИ
312
Систему 21 назовем смешанно неразложимой над (S, если ее нельзя представить в виде смешанно свободного произведения над © каких-нибудь двух ее подсистем, отличных от 2t. Из теоремы 9 непосредственно получаем
Следствие 10. Если система 21 может быть представлена в виде смешанно свободного произведения над © с; 21 своих смешанно неразложимых над © систем, то такое представление единственно.
Можно построить (см. примеры и дополнения к § 12, доп. 8) систему, разложимую в абсолютно свободное произведение любого конечного числа своих (непустых) подсистем, но не разложимую в абсолютно свободное произведение подсистем, далее уже не разложимых в абсолютно свободное произведение.
Примеры и дополнения
1. Пусть а — реплично полный класс. Каждая система, определяемая в ^ бесконечной совокупностью порождающих символов и конечной совокупностью определяющих соотношений, есть A-свободиая композиция конечно определенной системы и ^-свободной системы бесконечного ранга.
2. Базисным рангом системы Ш называется минимальная мощность, которую может иметь порождающая совокупность этой системы. Показать, что базисный ранг абсолютно свободной композиции систем равен сумме базисных рангов перемножаемых систем.
3. В классе коммутативных полугрупп базисный ранг свободной композиции может быть меньше суммы базисных рангов перемножаемых полугрупп.
4. Элемент а ? Ш называется алгебраической константой в системе Щ = {A, Q), если существует терм / (ж) сигнатуры Q1 все значения которого в ^? равны а. Привести пример алгебры ЭД и ее подалгебры S3 таких, что алгебраические константы существуют в S и не существуют в Ж.
5. Если самонезависимый элемент а системы Ж является алгебраической константой в StiaTO система Щ одноэлементная.
6. Если S — независимая совокупность элементов системы 21, то для любых с S, V с S имеет место соотношение U П V — = U f\ V, где X обозначает подсистему, порожденную в системе Щ совокупностью XCi (Марчевский [44].)
7. Пусть X — {х0, X1, . . . } — множество неизвестных, имеющее мощность ш 1. Обозначим через F совокупность линейных форм It1Xti + • • * + КХЬ (xii> • • •> xh 6 X) с целыми коэффициентами. Группа Sm = (F, +, —) является свободной группой ранга ш в многообразии всех абелевых групп. 336
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
8. Пусть © — группоид, определяемый в классе всех группоидов порождающими а;, Ьі и соотношениями аг-+1Ь;+1 = аг (г = 1, 2, . . . ). Обозначим через ©„ подгруппоид группоида порожденный элементами ап+и Ьп+І (і = 1, 2, . . .) и через ?>„ — подгруппоид, порожденный элементом Ъп (п = 1,2,.. .). Тогда
© = (п = 1, 2, ...),
и в то же время группоид (? не разлагается в абсолютно свободное произведение подгруппоидов, далее не разложимых в абсолютно свободное произведение.
9. Пусть Wli, — два многообразия алгебр сигнатур Q1, Q2) определяемые системами тождеств S1, ©2i причем Q1, Q2 пересекаются по нульарной операции 0, a S1, S2 содержат тождества 00 ... Ocd = 0 для каждого cd из Q1, Q2 соответственно. Обозначим через 9Й многообразие алгебр сигнатуры Q1 U йг> определяемое системой тождеств S1 у S2. Если для каждого ?=1,2 подалгебры Эйг-свободных алгебр 3?;-свободны, то подалгебры SJi-свободных алгебр также ЗЯ-свободны (Баранович [5]). ГЛАВА VI
