Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Fa (wu ... wm) = vx (wi, ..,,wm?V, vx[? V)
невозможно и (2) из соотношения
Fa (wt, ...,Wm) =
— F$(w[, . . . , w'm) (Wi, . . . , Wm, w[.....w'm ? V)
вытекает a = ?, Wi = w[, . . ., Wm = w'm.
Ho соотношение 1) означает, что элемент Vx разложим, что противоречит определению совокупности F, а условие 2) вытекает из теоремы 3, так как ЯЛ П F = 0.
Докажем, что 95 = JuJl * F. Для этого надо проверить, что произведение ЯЛ * F обладает ^свойствами а) — д), указанными в теореме 3. Покажем, что 55 порождается системами ЯЛ, F. Каждый элемент 95 представим в виде значения некоторого терма f ((Li, . . ., ат) от каких-то элементов аи . . ., ат из множества (JSti- Допустим, что в 93 есть элементы, не выражаемые термально через элементы ЯЛ, V. Рассмотрим тот элемент Ъ из них, который представим в виде терма / (a1? . . ., ат), имеющего наименьшее число вхождений функциональных знаков. Если функциональных знаков вообще нет или совокупность аи . . ., ат целиком принадлежит какой-нибудь § 12]
СВОБОДНЫЕ СИСТЕМЫ И КОМПОЗИЦИИ
312
системе її і, то Ъ 6 5Ш, что противоречит предположению. Следовательно, для Ъ имеет место представление вида
b = Fa (щ, .. .,ит), (3)
где совокупность Ui, ..., ит не содержится ни в одной из систем Я;. Если элементы U1, . . ., ит принадлежат системе 95,_то они должны, по предположению, выражаться через элементы ЗЛ и V, так как термы щ, . . ., ит содержат меньше вхождений функциональных символов, чем терм Ъ. Но в таком случае и Ъ выражается через элементы ЯК, V.
Пусть в представлении (3) не все элементы u1, . . . . . ит принадлежат 95 и, следовательно, совокупность {til, • • •> ит} не содержится целиком ни в какой системе Яг. Согласно теореме 3 отсюда следует, что представление (3) единственно и, в частности, b не может быть разложим в 95, откуда b ? V, что снова противоречит предположению.
Итак, 95 порождается подсистемами -ЯК, V, причем WdV ~ 0. Остальные свойства в) — д), указанные в теореме 3, проверяются столь же просто. Например, если
W=Fa(wi, . . .,Wm)?V (W1,..., Wm^ ®), то w разложим в 95, и потому
Fa (W1, ..., Wm) = Fb (w'lt ...,w'm) iw[, ..., w'm 6 F).
Так как совокупносіь [w[, .. ., w'm) не входит ни в один множитель Яг, то a=?, w1 = Wr1, ...,wm = w'm.
Аналогичным образом доказывается и
Теорема 5. Пусть система Я есть абсолютно свободное произведение своих подсистем Hi (і ? I) над амальгамированной подсистемой (5, и пусть 95 — некоторая подсистема в Я ,не содержащая элементов (5. Тогда 95 есть абсолютно свободное произведение пересечений ®П H г (і 6 I) и, быть может, еще одной абсолютной свободной подсистемы 35 системы Я.
Заметим еще, что дополнительные абсолютно свободные сомножители 95, упоминаемые в теоремах 4 и 5, не содержат элементов основных сомножителей Hj. 332
КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
[Гл. V
Теорема 6. Если система 21 есть абсолютно свободное произведение одновременно пари систем St1, Sta и пары систем SI1, Sf3 над одной и той же амальгамированной подсистемой (5, то St2 = St3.
Назовем атомарный терм F (щ, . . ., ит) (F ? Q; Ui, . . ., Um E St), St!-правильным, если Ui E SI1 \ Uj $ St1 для некоторых і, J = 1, . . ., т. Произвольный терм / (ии . . ., ип) (Ui, . . ., Un 6 Si) назовем SI!-правильным, если он содержит Sti-правильный атомарный подтерм. Применяя теорему 3 к разложениям И = St1 *
® /
* St2 = St1 * St3, видим, что значения St1-HpaBильных
<? Є
термов не принадлежат ни одной из подсистем SI1, SI2, St3. С другой стороны, так как И порождается системами St1, St2, то каждый элемент St, не входящий в St1IJSt2, является значением подходящего ЗГгправильного терма. Таким образом, обозначая через M совокупность значений всех Sti-правильных термов, получим SI2 = = (St \M)\(SI і \ ©). Применяя то же рассуждение к разложению SI = SI1 * St3, получим Sfз = (Si \ М) \ (St1 \ 6), Є
т. е. St2 = SI3.
Чтобы представить последующие результаты об абсолютно свободных разложениях в более законченной форме, целесообразно несколько расширить понятие абсолютно свободного произведения над заданной амальгамированной подсистемой. Символом * условимся обозначать абсолютно свободные произведения, а символом * —
<5
абсолютно свободные произведения над амальгамированной подсистемой Будем говорить, что система SI есть смешанно свободное произведение своих подсистем St г (г ? /) над амальгамированной подсистемой символически
Si=EMi (і?і),
S
если I=K IJ I, каждый множитель Sfi для і ? К содержит а для і ? L Sti П ® = 0 и, сверх того,
И =ObSbMIbИ,) (НК, IeL). § 12] СВОБОДНЫЕ СИСТЕМЫ И КОМПОЗИЦИИ
312
Основное свойство смешанно свободных произведений указывает
Следствие 7. Смешанно свободные произведения
ассоциативны, т.е. если Я=П®ЭДг I— UAi
Є
([X(EM)—некоторое разбиение совокупности I и SSm, — подсистема, порожденная в Я элементами систем Stj (іЄ/ц), то
E
Для доказательства достаточно применить теорему 3. Аналогично из теорем 4 и 5 легко получается
Следствие 8. Если Я = П@Яг (г'6-0 и 95-ка-
