Теорема Пифагра - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
y=]/x2-{-a2 и у=Ух2—а2
может быть получена из другой посредством замены х на у и у на х. Если такую замену мы произведем в первом выражении, то получим
решая затем это уравнение относительно г/, мы получим вторую функцию. Это должно быть сразу ясно, потому что в первом случае мы обозначили гипотенузу через г/, а катет — через х, а во втором случае были приняты обратные обозначения. В таких случаях говорят, что одна из функций о б р а т н а другой; мы сначала рассматривали гипотенузу как функцию катета, а потом катет как функцию гипотенузы.
X2
Рис. 66,
В чем, однако, геометрический смысл этого факта?
На рис. 66 нанесены обе кривые рис. 64 и 65. На кривой 1 (так мы будем называть первую из рассмотренных кривых) возьмем точку P1, которая соответствует некоторому значению X1 и связанному с ним значению уг. Из точки P1 опустим перпендикуляр на биссектрису угла между осями и продолжим его за биссектрису на равную ему длину; другими словами, найдем зеркальное отражение точки P1 от этой биссектрисы. Мы обязательно попадем при этом в некоторую точку второй кривой P2. Почему?
Из рис. 66 видно сразу, что для этой точки P2 значения у2 и х2 равны соответственно X1 и уг. Поскольку точка P1 лежит на кривой 1, то
откуда
X1=Vy*-*2.
Заменяя в последнем выражении X1 на г/2, а г/, на х2, мы находим
y2=Vx!-a2f
а это означает, что точка P2, которой соответствуют значения х2, у2, лежит на кривой 2. Точка P1 выбиралась нами произвольно, т. е. доказанное справедливо для всех точек; следовательно, кривая 2 может быть получена из кривой 1 зеркальным отображением ее от биссектрисы угла между осями координат.
5. Нам остается исследовать еще третий случай. Независимой переменной х теперь должен стать катет, зависимой переменной у — другой катет, гипотенуза же сохранит постоянное значение с.
По теореме Пифагора
х2~\-у2=с2,
откуда
у = ]/с2 — х2.
И в этом случае мы составим таблицу, приняв, например, с=5. Давая х целочисленные значения, мы получим соответствующие значения у.
X =
о,
2/=
1/25 = 5,000;
X =
У=
1/24=4,899;
X =
2,
У=
1/21=4,583;
X =
з,
У =
1/16=4,000;
X =
4,
2/=
1/9=3,000;
X =
5,
У=
/0=0,000.
Значения х, превышающие 5, мы отбрасываем, так как они приводят к отрицательным подкоренным выражениям.
Упражнение 51. Вычислите значения функции у при #=0,1; 0,2; 0,3, а также при #=4,9; 4,8; 4,7, и найдите разности полученных значений. Объясните результаты на графике.
Как и ранее, нанесем точки, отвечающие полученным значениям х и г/, на миллиметровую бумагу (рис. 67). Если соединить их плавной кривой, то она очень напомнит четверть окружности. Действительно ли это окружность? Если это так, то ее радиус должен быть равен с, т. е. в нашем случае 5. Начертим такую окружность. Мы убедимся, что она проходит через нанесенные нами точки. Но ведь не исключено, что окружность и кривая могут совпадать только в этих точках, а между ними кривая образует, например, волны вверх и вниз. Мы можем легко решить этот вопрос.
Возьмем на окружности произвольную точку P1 и опустим из нее перпендикуляр на ось х.
Обозначим отрезок между точкой P1 и основанием перпендикуляра через у1} а отрезок между основанием перпендикуляра и началом координат через X1. По теореме Пифагора мы будем иметь
откуда
<
X,
О /
г з 4
Рис. 67.
S
Итак, точка P1 лежит на кривой. Доказанное нами справедливо для любой точки четверти окружности, поэтому кривая и окружность совпадают.
6. Теперь можно поставить вопрос, как один элемент прямоугольного треугольника выражается в виде функции от двух других. Возьмем сначала в качестве независимых
переменных катеты и обозначим их через х и у; тогда гипотенуза определяется функцией
z = ]/x2+у2.
Для графического представления на плоскости такой функции двух переменных наши прежние методы непригодны. Чтобы дать геометрический образ зависимости, выражаемый нашей функцией, необходимо использовать пространство.
Рассмотрим плоскость с заданной на ней системой координат. Каждой точке P1 из квадранта, заключенного между правой полуосью х и верхней полуосью г/, соответствует вполне определенная пара значений X1, ух, и обратно. Расстояние этой точки P1 от начала координат равно
Z1 = Vx2^y2.
Это расстояние мы отложим на перпендикуляре к рассматриваемой плоскости, восставленном в точке P1; обозначим полученный отрезок через P1P. Теперь каждой точке нашего квадранта можно поставить в соответствие точку Р, являющуюся концом отрезка перпендикуляра, восставленного в этой точке. Совокупность всех таких концов составит поверхность, которая служит геометрическим изображением нашей функции z =¦ Ух2-\-у2 . Что же это будет за поверхность?
Когда хотят изобразить какую-нибудь поверхность, скажем, рельеф местности, изобилующей горами и долинами, то чаще всего прибегают к методу построения «кривых равной высоты», т. е. кривых, соединяющих точки с одинаковой высотой, отсчитываемой от какого-нибудь начального положения, например, от уровня моря Эти кривые называются изогипсами. На топографических картах изогипсы наносятся в виде ряда кривых, соединяющих точки, расположенные, например, на высоте 100 м от уровня моря, 105 м и т. д. Как же выглядят изогипсы у нашей поверхности?
