Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Дефицит конечного представления G= (X; R) определяется как d=n—m=|X|—\R\. Предположим, что нормальное замыкание множества R не является замыканием менее чем т элементов. Согласно Баумслагу и Солитэру [1962], одно время существовала гипотеза, что для данной группы G дефицит постоянен для всех представлений, удовлетворяющих этому дополнительному предположению, или по крайней мере для всех минимальных представлений, удовлетворяю-
х) Как сообщил А. И. Кострикин, в препринте Wisliceny доказано, что ассимптотически это соотношение равно 1Z4,— Прим, перев.
2. Конечные представления
135
щих этому предположению, причем даже была попытка доказать эту гипотезу (Петреско [1955]). Однако Г. Хигман заметил, что нехоп-фова группа Баумслага — Солитэра G=(x, у; х~1у2х=у3), разумеется, имеющая ранг 2, порождается также элементами х и z=yl, но в этих порождающих не может быть определена одним соотношением.
? Дадим доказательство этого факта. Пусть F — свободная группа ранга 2 с порождающими х и у. Положим г=у3х~1у~2х и обозначим через N нормальное замыкание для г в F, а через ф — каноническое отображение из F на F/N=G. В группе G имеем
\У\ х\=у-*х~1у*х=у-*у*=у*
(иными словами, выписанные элементы из F имеют равные образы в Gi и
1Iy*, х], х]=у-*х-*у*х=у-*у*=у,
откуда следует, что G порождена (образами) элементов х и z=yl. Пусть F1=Gp(X1 г}; тогда ограничение (P1 гомоморфизма ф на Ft отображает F1 на G. Предположим, что ядро N1 гомоморфизма ф* является нормальным замыканием одного элемента s=s(x, z) группы Ft, и выведем отсюда противоречие.
Пусть F — нормальное замыкание элемента у в F; тогда базисом группы F является совокупность элементов Уі=х~'ух1, і QZ. Очевидно, что содержится BfH является нормальным замыканием в F элементов гх=у\ут+\, іQZ. Более того, Fi=F1C]F обладает базисом, состоящим из элементов Zi=y\, так что Nx содержится в F1 и является нормальным замыканием элементов St=x~'sxl. Заменяя элемент s подходящим сопряженным, можно предполагать, что s=s(z0, ..., zh) для некоторого /г^зЮ; в этом случае элементы st получаются подстановкой: Si=s(zu ..., zt+k).
Поскольку в G выполняется соотношение у12=х~1у"х, элемент U"=zjjzfs группы F1 лежит в N1. Будем использовать теорему о свободе (II.5.1) в ступенчатой форме. Поскольку и лежит в нормальном замыкании N1 элементов st в группе F1 и содержит только Z0 и Z1, то он является следствием только соотношения s0, a S0 включает в себя самое большее Z0 и Z1, т. е. &=1 и s0=s(z0, Z1). Применим теорему о свободе еще раз. В группе F, базис которой составляют у и элемент s0=s (yi, yf) является следствием элементов Гі=у)уї+\, откуда вытекает, что S0 является следствием только г0. Другими словами, в группе H= (у„, yi, yl=yl) выполняется соотношение s (z0, Z1); нетрудно понять, что любое соотношение между элементами z0=yl и Zi=y\ в этой группе является следствием соотношения z,-=zf. Итак, в группе F1 элемент s(z0, Z1) является следствием элемента U=Z^2. Тем самым показано, что в группе T1 елемент и
136 Гл. II. Порождающие и соотношения
является следствием элемента S0, и наоборот. Обращаясь еще к одной теореме Магнуса (II.5.8), мы получаем, что s=s0 сопряжен в Fi, а значит, и в Fi с элементом и или обратным к нему. Поэтому N1 также является нормальным замыканием элемента и.
Чтобы получить противоречие, остается показать, что не каждое соотношение между элементами х, z, которое выполняется в
Группе G, ЯВЛЯеТСЯ СЛеДСТВИеМ СООТНОШеНИЯ U = z3x-1z-2x. Мы
видели, что в G выполняется соотношение y=\z, х, х]. Поэтому выполняется и соотношение z=[z, х, х]4; покажем, что именно это соотношение не вытекает из и. Переходя к zu нам нужно показать, что элемент V=Z^(Z11Z0Z11Z2)4 не является следствием элементов Sj=ZjZ?+2!. Из предположения, что V является следствием элементов sit вытекало бы, снова по теореме о свободе, что v является следствием только S0 и Si, т. е. что V представляет тривиальный элемент в группе K=(Z0, Z1, z2; z30=z\, zl=z\). Однако К является свободным произведением с объединенной подгруппой (см. ниже 1V.2) циклической группы K1= (г0; 0) и группы K2= (Z1, z2; z\=z%), причем объединяются циклические подгруппы L1 и L2 с порождающими z% и г2 путем отождествления порождающих. Слово V
МОЖеТ быть Записано В ВИДЄ V=Z01^Z1- (Z0- (Zf1Z2Z11))3•Z0- (Zf1Z2),
причем выделенные сомножители лежат попеременно в K1 и K2, но не в L1 или L2. Из теоремы о нормальной форме для свободного произведения с объединенной подгруппой (111.2.5) вытекает, что IM=I в К. ?
В качестве следствия более сложного результата Рапапорт [1964] получает, что если свободная группа F ранга г имеет конечное представление F=(X; R), то d=\X\~\R\=r; в этом можно убедиться переходом к факторгруппе по коммутанту. Она устанавливает также, что, если некоторая группа G имеет конечное представление G= (X; г) с одним определяющим соотношением, то для любого конечного представления G=(X'; R') той же самой группы d' = |X'|—\R'\=d=\X\—1. В частности, привлекая соображения симметрии, видим, что два представления одной и той же группы, каждое с одним определяющим соотношением, обязаны содержать одно и то же число порождающих. Ею приведен следующий пример. Пусть Gx= (X1; R1), G2= (X2; R2) — конечные представления; предполагая, как обычно, Х1[)Х2=0, видим, что их свободное произведение G имеет представление G= (X1U X2; R1[JR2). В ее примере ни одна нормальная подгруппа N1, порожденная множеством Ri в Ft, не является нормальным замыканием менее чем /п,= = |/?j| элементов, однако нормальная подгруппа N, порожденная в F множеством R1UR2, является нормальным замыканием менее чем ffZi-f-tf2,=|/?i U Ri\ элементов (F — свободная группа с базисом •X1U^a)- Она приводит также пример конечного представления G= (Xi R), в котором нормальное замыкание множества R не яв-
