Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 2.2. Если для данного конечно порожденного представления группы G разрешима проблема равенства слов или сопряженности, то соответствующая проблема разрешима и для любого конечно порожденного представления той же самой группы.
? Пусть (X1; R1) и (X2; R2) —два представления одной и той же группы G: допустим, что в (X1; R1) разрешима проблема равенства (сопряженности) и что X2 конечно. Рассмотрим произвольную функцию ф из X2 в P1, такую, что для любого х?Х2 элементы х и *ф представляют один и тот же элемент группы G; отображение ф продолжается до гомоморфизма из P2 в P1 с теми же самыми свойствами. Понятно, что гомоморфизм ф эффективно вычислимый: если дана конечная таблица значений хф для х?Х2, то, чтобы получить икр для любого w?F2, достаточно применить подстановку. Однако теперь, чтобы решить, представляют ли два элемента W1 и W2 из F2 один и тот же элемент (или сопряженные элементы) группы G, достаточно вычислить W1^ и пу2ф и применить алгоритм для представления (X1; P1). ?
Преобразования Тице полезны в частных случаях для доказательства того, что два данных представления определяют изоморфные группы, и особенно для упрощения данного представления. С их помощью бывает удобно доказывать, что некоторые инварианты конечных представлений на самом деле являются инвариантами представляемых ими групп.
2. Конечные представления
131
Сформулируем теперь один результат Магнуса [19341 о представлениях конечно порожденных групп. Пусть А — конечно порожденная абелева группа с порождающим множествомхь.. .,Xn, определенная множеством соотношений Sj = JI^1V как абелева группа, т. е. так, что все соотношения между элементами Xj следуют из равенств Sj = I и тождества коммутативности. Назовем матрицу M = = (Cij), число строк в которой бесконечно, матрицей соотношений группы А. Основная теорема о конечно порожденных абелевых группах и ее варианты дают различные канонические формы для М, из которых можно получить инварианты группы А.
Предложение 2.3. Пусть G — конечно порожденная группа, A=GI[G, G] — ее факторгруппа по коммутанту и M = (сц) — конечная (тХп)-матрица соотношений для А. Тогда G обладает представлением G=(X1,..., Xn; гх, гг,...), таким, что
г і sa Rx'/J (mod [F, F]) для 1 < і < m
и
г і = 1 (mod [F, F]) для і > т.
? Пусть G= (X; R), где X конечно, a R, возможно, бесконечно. Оно определяет матрицу соотношений M для А, в которой п=\Х\ столбцов и, возможно, бесконечно много строк. Выберем конечное число из этих строк, скажем первые т штук, так, чтобы они порождали группу строк матрицы М; прибавляя подходящие целочисленные линейные комбинации этих строк к остальным, можно считать, что эти остальные строки равны нулю. Проделаем те же преобразования с представлением, умножая все rt с номерами, большими т, на подходящие произведения степеней элементов г1(..., гт; тогда гj== 1 (mod [F, F]) для всех ї>т. Итак, мы имеем матрицу M и представление (X; R), связанные описанным образом.
Любая другая конечная матрица соотношений M' для А может быть получена из M последовательностью (і) элементарных преобразований строк; (іі) элементарных преобразовании столбцов; (iii) преобразований, переводящих M в Л1'=(*ї), или обратных к ним. Далее, элементарное преобразование строк может быть индуцировано заменой элемента rt на гг1 или на T1T1, \фі. Элементарное преобразование столбцов может быть индуцировано заменой элемента Xj на Xf1 или xjXh, k=?j. Третий тип преобразований может быть индуцирован преобразованием Тице, вводящим новый порожда-
п
ЮЩИЙ Xn + i Вместе С НОВЫМ СООТНОШеНИеМ Гт+1 = (П-Х/т +1^)*« +Ii
1-І
или обратным к такому преобразованием. Таким образом, мы можем перейти последовательностью преобразований Тице к новому представлению (X'; R'), индуцирующему матрицу соотношений M'. О
132
Гл. II. Порождающие и соотношения
Имеется несколько проблем, связанных с тем, какие пары чисел \Х\ =п и \R\ =т могут появиться в некотором представлении данной группы. Минимальное значение числа п равно, очевидно, рангу г (G) группы G, т. е. наименьшему числу порождающих группы G.
По предложению 1.2.7 это согласуется с прежним определением ранга свободной группы. Очевидно, что г (G)=O, только если G=I, и /-(G) = I в точности, когда G — нетривиальная циклическая группа. По теореме Грушко — Неймана (IV.l.8), если G — свободное произведение, G=Gi*G2, то r(G)=r(G1) +г(G2). В случае свободного произведения с объединенной подгруппой сколько-нибудь удовлетворительных результатов о рангах не имеется, однако такая формула была найдена в 1970 году Цишангом при наложении весьма ограничительных условий на объединяемую подгруппу и ее положение в перемножаемых группах; эта формула оказалась полезной при определении ранга фуксовых групп; см. также Рапапорт [1964], Печиньски, Розенбергер и Цишанг [1975]. Было показано, что многие конечные простые группы имеют ранг 2, см. Кокстер [1936, 1937], Кокстер и Мозер [1965], Дуглас [1951], Дж. Миллер [1900, 1901, 1902, 1908, 1920], Синков [1936, 1937, 1938] и Макбет [1967]. Действительно, Дж. Миллер [1900] показал, что, за небольшими исключениями, каждая симметрическая или знакопеременная группа может быть порождена элементом порядка 2 и элементом порядка 3. На самом деле, Г. Хигман (не опубликовано; см. Дей и Уайголд [1971]) доказал, что, с очень небольшим числом исключений, каждая знакопеременная группа может быть порождена элементом порядка 2 и элементом порядка 3, причем их произведение — элемент порядка 7; эти группы, таким образом, являются факторгруппами знаменитой треугольной группы (2, 3, 7) с представлением G= (х2= =у3= (хуУ = \). (Мы вернемся к этим треугольным группам в разд. III.7.) С этими группами связаны группы (/, т, п; р) с представлениями х{=ут = (ху)п=[х, у]р=\; последние изучались Бра-хана [19311, Кокстером [1940] и Синковом [1937]; см. также Макбет [1961] и Лич [1965].
