Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
3. Исчисление Фокса, матрицы соотношений
145
может быть представлен в виде N2^iZGQ)M ни для какого модуля М. Он показывает, что модуль соотношений N для представления G= (х, у; хъ) может быть порожден одним элементом, не являющимся образом никакого порождающего модуль N элемента, опровергая тем самым одну гипотезу Уолла [1966].
Обратимся теперь к ядру K2 отображения d2: M2-WW1. Элементы модуля M2 суть элементывида 1х=27;Г;, гл-е Ti Є ^G и rt Q R. Нами использована аддитивная запись, поскольку мы имеем дело с модулями, а также умножение на операторы слева (а не справа), поскольку мы пользуемся формализмом, возникшим не в теории групп, а в топологии. Сохраним запись операторов слева, но перейдем к мультипликативной записи, получая тем самым P=IP1Vi. Значения \id2 в Ki=N тогда приобретают вид рс(2=П7'Гг по модулю [N, N]. (Здесь при сQZ HgQG имеем '•ce)r=grcg~1, а смысл символа vr ясен из соображений линейности.) Таким образом, K2 состоит из тех р., для которых IXd2=I и которые соответствуют «соотношениям между соотношениями» вида JJv'r;~1 (modfiV, N]), или, в явной форме, вида ILf/" 1J-JZg;== 1 (mod [N, N]), где gjQG, е>=±1. Они
обычно называются тождествами для соотношений; мы вернемся к ним позднее.
Заметим, что Оянгурен [1968] изучил действие группы G на N, а также индуцированное им комплексное представление в случае, когда G конечна.
Выписанная выше свободная резольвента, ассоциированная с представлением, может быть использована для получения некоторой информации о когомологиях и гомологиях группы. К наиболее важным общим формулам относится формула Хопфа: #2(G, Z)^(NnIF, F])I[N, N] (Хопф [1942]; см. также Линдон [1950]; об этом и близких инвариантах см. также Оянгурен [1966], Стол-лингс [1966], Штаммбах [1966]). С помощью этого метода удается получить информацию о когомологиях свободного произведения с объединенной подгруппой; см. Линдон [1950] и Суон [I960, 1969].
Если G=I, то получаем свободную резольвенту 0->-ZG=Z->-Z, в которой TW1=O. Если G свободна, то она обладает резольвентой 0-WWi->-Mo=ZG-»-Z, в которой Af2=O. Среди первых вычислений в теории когомологий групп, произведенных в исходных статьях Эйленберга и Маклейна [1949], были вычисления когомологий для циклических групп. Используя методы Райдемайстера [1934] и Магнуса [1930], Линдон обобщил их результаты на случай групп с одним определяющим соотношением G= (X; г). Если г не является
Собственной Степенью В F, Т. Є. НЄ ПреДСТаВЛЯеТСЯ В ВИДЄ T=S", п>1,
то G имеет резольвенту 0--WW2-WW1-V-M0=ZG-^Z-*-!.
Группа G имеет когомологическую размерность п, cdG=n, если она обладает свободной резольвентой, в которой Mt=0 для всех
146
Гл. 11. Порождающие и соотношения
Г>п, но ни в какой резольвенте Mn не равен нулю. Из приведенного выше замечания следует, что, если G=I, то cdG=0, если G свободна и нетривиальна, то cdG=l, и если G определена единственным соотношением, не являющимся собственной степенью, то cdG^2. (Более глубокое определение условия cdG=n состоит в том, что п — наименьшее число, такое, что Н" (G, M)=O для всех ZG-модулей М.) Очевидно, что из CdG=O следует G=I. Знаменитой гипотезой стала гипотеза Эйленберга и Ганеа [1957] о том, что если cdG=l, то группа G свободна; она была доказана Столлингсом [1968] для конечно порожденных и Суоном [1970] для произвольных групп G. Группы с cdG=2 изучены не полностью. Линдон [1950] показывает, что если G определена одним соотношением, которое не является собственной степенью, то ее модуль соотношений N свободен и его базисом является образ этого соотношения; в 1962 году он получил обобщение этого результата. Серр [1971] спрашивает, верно ли, что при cdG^2 группа G имеет представление, такое, что N свободен и его базисом служат образы элементов из R.
Если G=(X; г), причем г — собственная степень, то cdG=oo; Линдон [1950] показал, что в этом случае имеет место обобщение результата Эйленберга и Маклейна для циклических групп и G имеет периодические когомологии: Hn+2(G, M)=H" (G, М), tC^2.
Геометрической размерностью gdG группы G называется наименьшая размерность асферического клеточного комплекса, фундаментальной группой которого является G. Известно, что при cdG==== Ф2 имеем gdG=cdG, а при cdG=2 имеем gdG>2. Эйленберг и Мак-лейн поставили проблему: верно ли, что из cdG=2 следует gdG=2; Дайер и Васкес [1973] получили положительный ответ для групп с одним определяющим соотношением.
Мы заметили ранее, что из таблицы умножения группы G получается представление, в котором X находится во взаимно однозначном соответствии с G, a R состоит из всех верных соотношений длины 3. Свободная резольвента, естественным образом возникающая из этого представления,— это и есть стандартная резольвента Эйленберга и Маклейна. [Это замечание было использовано Столлингсом [1968] для доказательства того, что каждая группа обладает симплициальным комплексом Кэли (см. гл. III).]
Несколько иная резольвента была построена Грюнбергом [1960, 1967, 1970]. Пусть G=FIN, где F — свободная группа с базисом X, и Y — базис свободной группы N. Обозначим через dF ядро пополняющего отображения из ZF на Z, а через 91 ядро естественным образом возникающего отображения из ZF на ZG. Мы заметили, что W как левый ZF-модуль свободен и его базисом служат все X—1, X ?Х; Грюнберг показывает, что Si как ZF-модуль свободен, а его базисом служат у—1 для всех у ? Y. Им доказана следующая теорема,
