Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
> Следствие. Любая непрерывная упорядоченная абелева группа изоморфна (R, +).
Мы получили аксиоматрическую характеризацию (R, +) с точностью до изоморфизма. Возвращаясь к теореме 5.2, можно также сказать, что (R, +) с точностью до изоморфизма есть наибольшая архимедова группа.
Архимедова группа (R, +) является, таким образом, наибольшим элементом среди расширений Z: ее нельзя дальше расширить без потери каких-либо свойств.
Это свойство, называемое «полнотой» R, было принято в качестве аксиомы Гильбертом [HI — RO].
В упр. 1.7 проводится исследование подгрупп группы (R, +).
7. автоморфизмы группы (r, +). структура поля 31
7. АВТОМОРФИЗМЫ ГРУППЫ (R,+). СТРУКТУРА ПОЛЯ. ГОМОМОРФИЗМЫ (R,+) В СЕБЯ
Теорема 6.3 применима, в частности, к самому R, поэтому можно сформулировать
^ Предложение 7.1. Для каждого действительного а Ф О существует единственное монотонное отображение ha: R->R, удовлетворяющее условиям ha(a) = = 1 и
(V (х9 у) є R2) К (х + у) = ha (х) + К (у) и являющееся биекцией. В частности, A1 = IcIr.
Изучение обратного отображения для agR приводит к следующему важному результату:
^ Теорема 7.2. Для любого a ^R существует единственное монотонное отображение фа: R-^R, удовлетворяющее условиям фа(1) = а и
(V (ху у) є= R2) Фа (х + у) = Фй (X) + Фа (у). (1)
Это отображение есть нулевая константа, если а = 0, и является биекцией при а Ф 0. В частности, фі есть тождественное отображение.
Доказательство. Разберем сначала случай а = 0. Если фо—монотонное отображение RbR, удовлетворяющее условию (1), и фо(1) = 0, то прежде всего по индукции находим, что Фо(р) = 0 для любого р е N; кроме того, фо(р)— 0 при всех peZ и ф0(х)= = 0 для всякого х, удовлетворяющего неравенствам р ^ X < р + 1, где peZ; окончательно, в силу монотонности фо(х), имеем фо(х)=0 для всех j^gR.
Если а ФО, то отображение, обратное к ha, удовлетворяет выдвинутым требованиям. Чтобы показать, что не существует другого отображения с теми же свойствами, достаточно заметить, что если фа удовлетворяет условию (1), то отображение 0 = ha°j$a монотонно и 9(1)=1, а также 0(х +у)= 0(х) + 0(у) для любых действительных X9 у. Поэтому 9 == й, = IdR в силу единственности At; отсюда с необходимостью
32
ГЛ. I. ПОЛЕ действительных ЧИСЕЛ
Существование гомоморфизмов фа позволит нам определить произведение двух действительных чисел а, Ъ равенством ab = ya(b). Предварительно мы установим, однако, некоторые свойства этих отображений.
Свойства гомоморфизмов <pfl
Предложение 7.3. Если а, b — десятичные дроби, то Ча(Ь)=<рь{а) = аЬ. (2)
Доказательство. Из соотношения (1) легко выводим, что
{ух є R, vp^Z) фа (рх) = рфа (х)9 откуда при X = 10~*п
(vp є Z) юч (іо"яр)=ф, (р) = рф« (d = ¦> і
и если а — десятичная дробь, то
фв( 10"V) = Io-V,
откуда получаем (2), полагая b = 10~пр. ?
Предложение 7.4. Семейство (фа) удовлетворяет условию
(v (а, о)є R2) фа+& = фа + ф*. (3)
Доказательство. Предположим сначала, что a ^ 0 и 0^0; тогда фа и ф&— возрастающие отображения;
ТО жє ИМееТ МеСТО и ДЛЯ фуНКЦИИ ф = фа + фь, для
которой ф(1)=а + о, и путем сложения получается (1). Таким образом, ф = уа+ъ.
Аналогично рассматривается случай а < 0, b < 0.
Чтобы разобрать случай ab < 0, заметим, что
еДИНСТВеННОСТЬ фа влєчєт ф-а = —фа, ТЭК Как —ф-а
удовлетворяет требованиям, наложенным на фа. Переставляя в случае необходимости а и b и заменяя их противоположными, можно свести дело к случаю а <. 0, b > 0, а + o > 0. Полагая с = а + 6, получим
ТОГДа, в СИЛу уже раССМОТреННОГО, ф_а + фс = фс+(-а)=-
= фь, т. е. (3). ?
7. АВТОМОРФИЗМЫ ГРУППЫ (R, 4-). СТРУКТУРА ПОЛЯ 33
Предложение 7.5. Для любых действительных а, b имеет место равенство
Фа(&) = Фб(в)- (4)
Доказательство. Из предложения 7.4 немедленно получается, что для любого Ь є R отображение qV. R->R, л; н-> (P^(O) монотонно (возрастает при О, убывает при Ь^О) и удовлетворяет условиям, на* ложенным на ф&, так как 'ф6(1) = ф1 (&)==&. Таким образом, <ф& = фг? и (4) верно при любом aeR,
Произведение действительных чисел
Теперь мы можем дать такое
Определение 7.1. Произведением ab двух действительных чисел a, b называется действительное число (pa{b) = фь(а).
Это определение оправдано тем, что в случае десятичных дробей оно приводит к их обычному произведению (см. предложение 7.3). Более того, предложения 7.4 и 7.5 показывают, что произведение действительных чисел дистрибутивно по отношению к сложению и коммутативно.
Для полноты установим следующее
Предложение 7.6. Произведение действительных чисел ассоциативно.
Доказательство. Если a, b — фиксированные действительные числа, то функция г|) = фа ° <рь удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на фа*> (поскольку г|)(1) = фа(ft) = ab). Таким образом, для любых действительных a, Ь> с имеем
ФаЬ {с) = Фа ° Фь (с) и (ab) с = а (Ьс).
Существование частного
Предложение 7.7. Для любых действительных а, Ь при b ф 0 существует действительное qy такое, что a = bq. ?
