Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Теорема о гомоморфизме
Напомним сначала, что если К и К' — два тела (необязательно коммутативные), то гомоморфизмом А тела К в К' называется отображение К в К', удовлетворяющее условиям
* (у/(х9 у)^К2) h(x + y) = h(x) + h(y)9
h(xy) = h(x)h(y). (1)
Из этих условий следует, что х) A (Qк) = 0К*. Если А не является нулевым гомоморфизмом (который определяется соотношением h(x) = 0K> для всех X є /С), то имеем также A(I^) = \к< и
(V^D A(A:"1) = [А (я)]"1.
Это имеет место, в частности, если А — биекция, и тогда говорят, что А — изоморфизм тел.
Далее, упорядоченное поле К называется архимедовым, если его аддитивная группа (К, + ) архимедова; для этого необходимо и достаточно, чтобы каждый элемент из К имел мажоранту вида я-Ц, где
Л€=|\].
^ Теорема 8.2. Если/С — упорядоченное архимедово поле, то существует единственный монотонный гомоморфизм А из К в поле R, отличный от нулевого. При этом А строго возрастает и A(ZC) содержит подполе Q из R, образованное действительными числами вида p/q (р ^Z9 (J є N*), которые называются рациональными.
Доказательство. Прежде всего условие A(Ik) = I вместе с первым из соотношений (1) показывает, что А (если он существует) равен гомоморфизму групп Аа с а = 1 /с, определенному теоремой 5.2. Отсюда вытекает единственность А.
Покажем теперь, что гомоморфизм групп A = A1^
1) Нуль и единица тела К обозначаются 0К> Ц или просто 0, I, если это не ведет к недоразумениям; К* обозначает К \ {0}.
38
гл. i. поле действительных чисел
удовлетворяет и второму из соотношений (1). Для этого предположим, что X > О, и рассмотрим отображение fx: y*->[h(x)X~lh(xy) с фиксированным действительным X.
Сразу видно, что fx — строго возрастающий гомоморфизм (К, +) в (R, +), при котором fx(lK) = l$ следовательно, fx — h\K и
(щ є К) Ih(X)]-1 h(xy) = h(y),
т. е. h(xy) = h(x)h(y).
Это соотношение распространяется на случай х << < 0 заменой X на —х, и ясно, что оно выполняется также и при х = 0. Следовательно, h является гомо* морфизмом тел.
Наконец, h(p-\K) = pt откуда h(p/q) = p/q, каковы бы ни были p^Z и ^gN*. ?
Из сравнения с теоремой 6.3 и следствием из предложения 8.1 с учетом предложения 6.2 выводится
> Теорема 8.3. Любое упорядоченное поле /С, обладающее свойством (ВГ) верхней грани, изоморфно R,
Вопреки тому что имеет место для архимедовых групп, указанный здесь изоморфизм единствен. Эта единственность обеспечивается вторым из соотношений (1).
Согласно этим результатам, R является наибольшим архимедовым полем (с точностью до изоморфизма).
Гомоморфизмы поля R в себя
Из предыдущего видно, что монотонных гомоморф физмов поля R в себя, отличных от нулевого и тождественного, не существует. Но возникает вопрос, нет ли гомоморфизмов, не являющихся монотонными. Отрицательный ответ на него дает
> Теорема 8.4. Не существует гомоморфизмов поля R в себя, отличных от нулевого и тождественного.
Доказательство. Допустим, что такой гомоморфизм h существует, Для любого действительного л: > О най*
8. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПОЛЯ. ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ R КАК ПОЛЯ 39
дется действительное у > 0, такое, что у2 = х, откуда h(x) = (А(*/))2^0.
Для любой пары действительных иу и, таких, что u>v, получим тогда А (и)—h(u) =h(v — w)^0, что доказывает монотонность А, и остается применить теорему 8.2.
Заметим, что, напротив, немонотонные гомоморфизмы группы R в R существуют (см. § II. 10).
Подполя поля R. Мы видели, что множество Q рациональных чисел есть подполе поля IR, но существует и много других подполей, например:
• поле (называемое полем Галуа), порожденное корнями заданного многочлена с целочисленными коэффициентами, имеющего только действительные корни;
• поле алгебраических чисел, образованное действительными числами, являющимися корнями многочленов с целочисленными коэффициентами.
• в евклидовой геометрии мы естественно встречаемся с полем квадратных корней — наименьшим подполем К в IR, которое вместе с каждым положительным элементом содержит квадратный корень из него; это поле образовано теми действительными числами, которые можно получить из рациональных чисел с помощью конечного числа действий сложения, умножения, деления и извлечения квадратных корней (см. [CA]).
Существование упорядоченных неархимедовых полей
Известны примеры полей ненулевой характеристики (и потому не допускающих упорядочения), например поля Z/pZ, где р простое; с другой стороны, Q дает пример упорядоченного поля, не удовлетворяющего аксиоме (ВГ) о верхней грани. Для доказательства независимости аксиом, характеризующих 1R1 мы приведем пример упорядоченного неархимедова поля.
Предложение 8.5. Пусть 1R(ZJ — поле рациональных дробей (частных многочленов) с действительными коэффициентами, рассматриваемых как функции с числовыми значениями.
40
гл. i. поле действительных чисел
a) Отношение линейного порядка на R(X) можно получить, полагая f ^ g, если существует действительное *о, такое, что f(x) ^g(x) для всех х ^ х0.
б) Снабженное этим отношением порядка R (jc) будет упорядоченным неархимедовым полем.
