Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Каждая измеримая физическая величина (масса, длина, объем, давление и т. д.) представляется как линейно упорядоченное множество G, снабженное законом сложения, таким, что
(i) сложение коммутативно и ассоциативно,
(ii) в G существует наименьший элемент Og, являющийся нейтральным элементом для сложения,
(iii) для любого элемента z неравенства х ^ у и X + z ^ у + z равносильны.
Множество G, снабженное такой структурой, называется упорядоченной абелевой полугруппой; с помощью процесса «симметризации» (см. [LF2] или [BOl]), который сводится к «ориентации» рассматриваемой величины и присоединения элементов, называемых «отрицательными», можно получить упорядоченную абелеву группу.
Обычно предполагается (хотя зачастую неявно), что полученная таким путем группа G архимедова: нри выборе единицы измерения и > Oe определенный в теореме 5.2 гомоморфизм hu решает задачу измерения величин. Отметим, что вся его роль заключается в том, чтобы придать строгую форму іюстроенмю
28
гл. i. поле действительных чисел
начала § 1. Действительное число hu{x) есть, таким образом, Мера величины х при выбранной единице измерения и.
Мы увидим далее, что hu(x) можно истолковать как отношение величины х к величине и.
6. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ R КАК ГРУППЫ1)
Выделенных до сих пор свойств еще недостаточно для характеризации R (с точностью до изоморфизма): так, Z есть собственная подгруппа в R и, значит, архимедова группа, обладающая, кроме того, свойством верхней грани. Для того чтобы охарактеризовать R только с помощью указанных выше структур, введем
Определение 6.1. Говорят, что линейно упорядоченное множество X не имеет дыр, если для любых а <. Ь из R существует элемент с, лежащий между ними: а < с < Ь.
^ Определение 6.2. Говорят, что линейно упорядоченное множество X обладает свойством верхней грани, если оно удовлетворяет следующей аксиоме:
(ВГ) Любое непустое и мажорируемое подмножество X имеет (в X) верхнюю грань.
Наконец, говорят, что X непрерывно, если оно не имеет дыр и удовлетворяет аксиоме (ВГ). Из этих аксиом вытекают такие следствия:
Предложение 6.1. Пусть G — упорядоченная абелева группа без дыр; для любого элемента а > Oo из G существует последовательность (ап) элементов G, удовлетворяющих неравенствам
(V" ^ N) 0<2Х<д. (1)
Доказательство. Полагая а0 = а, строим такую последовательность индуктивно: считая ап известным,
1J Изложение в этом параграфе навеяно заметками, которые составил Ж. М. Эксбрейа для соискателей конкурса на место преподавателя.
b. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ R КАК ГРУППЫ 29
находим такое C1 что 0 < с < аПі и полагаем ап+\ = = inf(c, ап — с)\ тогда 2ап+\ ^ ап и (1) устанавливается индукцией по п.
Предложение 6.2. Любая абелева упорядоченная группа G, удовлетворяющая аксиоме (ВГ), архимедова.
Доказательство. Проводим рассуждение от противного. Допустим, что существует пара (а, Ь) є G2 с а > 0, такая, что
(V^eN) ла<6.
Тогда множество A = {па\п^Щ будет непустой частью G с мажорантой Ь\ у него существует верхняя грань а. Элемент а — а не является мажорантой A1 и потому найдется целое р, такое, что ра>а — а, откуда (р-\-\)а> а, что противоречит определению а. ?
Замечание. Мы получили таким путем новое доказательство того, что группа (R, +) архимедова.
Основная теорема об изоморфизме
Теперь мы в состоянии дополнить теорему 5.2 следующим образом:
Теорема 6.3. Пусть G — архимедова группа и а — ее ненулевой элемент. Для того чтобы ассоциированный гомоморфизм ha (см. следствие из теоремы 5.2) был сюръективным, необходимо и достаточно, чтобы группа G была непрерывной.
Доказательство. Поскольку h~a = —ha, можно предполагать, что а > Og-
a) Условие необходимо: если гомоморфизм ha сюръективен, то при а > Og он является строго возрастающей биекцией G на R и устанавливает соответствие между верхними гранями подмножеств G и R; из непрерывности R следует непрерывность G.
b) Чтобы доказать достаточность условия, зададимся произвольным действительным у и попытаемся построить такое х€Е G, что ha(x) = у. Поскольку в G нет дыр, предложение 6.1 позволяет нам построить
зо
гл. і. поле действительных чисел
последовательность (ап) элементов G1 такую, что О < 2пап ^ а при каждом л є N. Тогда последовательность Un — а4п удовлетворяет условиям 0 < < 10пип < 24паАп ^ а, откуда О < ha (ип) < 10~rt.
Положим гп = ha(un); существует последовательность целых чисел (рп), для которой
(V* є N) рпгп ^y < {1+Pn) вП9 (2)
откуда в силу возрастания ha
(V (m, п) е= N2) рпип <{1+рт) ит.
Последовательность (pnun)nG^ таким образом, мажорируема; поскольку G удовлетворяет аксиоме (ВГ), эта последовательность имеет верхнюю грань х, для которой
(V« ^ N) рпип < X < (1 + рп) иПУ
откуда
PiAi < M*) < U +Р«)е„.
Из сравнения с (2) видно, что ha(x) и у при любом п <= N допускают одно и то же приближенное значение с точностью до ея, где гп ^ I0~n.
Равенство ha(x) = y вытекает теперь из предложения 3.4. ?
