Учись решать задачи - Колягин Ю.М.
Скачать (прямая ссылка):
д) Практический вывод. Общее сопротивление двух параллельно включенных в сеть проводников уменьшится по крайней мере в 4 раза по сравнению с сопротивлением тех же проводников, включенных последовательно. Используя полученный результат, мы можем с полным основанием утверждать следующее: для того чтобы при параллельном соединении проводники имели сопротивление, например, в 0,5 Ом, необходимо взять такие два проводника, общее сопротивление которых было бы не менее 2 Ом.
е) Приложение к теории.
1) Если заменить в — ^4 а — Rx + R2 н — =--\- —, то полу-
ь b Rt r2
чим при > 0 и R2 > 0 неравенство (Rx + R2) f— + —) > 4.
\Ri R21
2) bk.
3) В качестве очевидных решений этой задачи можно также получить неравенства
— -(- — > 2 или К + - > 2 (если А- = к) . R2 Ri k R2 I
Последнее неравенство имеет особый интерес (и богатые приложения), так как вскрывает важное свойство двух взаимно-обратных чисел.
11.4. Раскрасим доску в четыре цвета, как указано на рисунке 93 (цифры — номера цветов). Тогда каждая плитка замостит четыре клетки со всеми четырьмя цветами. Но клеток, окрашенных в 1-й цвет, —25, во 2-й — 26, в 3-й — 25, а в 4-й — 24. Отсюда следует невозможность указанной укладки.
11.5. См. рис. 94. 11.7. Пусть для того, чтобы
фабрика получила наибольшую Рис. 93 прибыль, надо изготовить х пар
1
2
3
ч
1
2
3
ч
1
2
2
3
ч
1
2
3
и
1
2
3
3
Ч
1
2
3
ч
1
г
3
ч
Ч
1
2
3
Ч
1
2
3"
Ч
1
1
2
3
ч
1
2
3
ч
1
2
2
3
ч
1
2
3
Ч
1
2
3
3
Ч
1
2
3
Ч
1
2
3
Ч
Ч
/
2
3
Ч
1
г
3
Ч
1
1
2
3
Ч
1
2
3
Ч
1
2
г
3
ч
1
2
3
ч
1
2
3
90
Рис. 94
туфель для мальчиков и у пар туфель для девочек. Тогда имеем:
(Зх + 2у < 100, 2х < 60, *>0, I у>0.
Общая прибыль равна F = Ъх + Зу денежных единиц. Решая систему, получим: х = 30, у = 5. Откуда наибольшая прибыль равна:
F = 5х + Зу = 5 ¦ 30 + 3 • 5 = 165
при выпуске 30 пар туфель для мальчиков и 5 пар для девочек.
§ 12. КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧУ
12.1. Вычертим произвольный треугольник (лучше разносторонний и разноугольный, так как, изобразив равнобедренный или прямоугольный треугольник, мы можем принять какое-либо частное его свойство за общее).
Высоты а ABC пересекаются в одной точке (точке О). Эта же точка является точкой пересечения биссектрис Л А1В1С1 (рис. 68).
Достаточно показать, что СгАгА = АА^В^ (для других углов доказательство будет аналогичным, так как взята произвольная высота ААХ).
Если АХА —биссектриса угла С^А^В^, то она будет осью симметрии для этого угла.
91
В Для того чтобы доказать, что ААХ есть
ЛЧ д биссектриса угла СХАХВХ, необходимо убе-
/ .an! диться в равенстве величин углов СгАхА и
'АуС. AAXBV Равенство величин углов можно до-
I/^^\^Ч казать, если: I/ п а) углы входят в конгруэнтные или подоб-
А в С ные между собой треугольники;
б) углы лежат в плоскости и имеют соот-Рис 95 ветственно параллельные или перпендику-
лярные стороны;
в) углы являются одноименными углами относительно некоторой окружности-и опираются на одну и ту же дугу этой окружности;
г) величины углов равны порознь одной и той же величине угла (свойство транзитивности равенства);
д) углы имеют общую сторону, которая является осью симметрии угла, величина которого равна сумме величин данных углов.
Наиболее перспективными кажутся направления:
1) поиск пары подобных друг другу треугольников;
2) попытка «привязать» оба угла к одной и той же окружности;
3) использовать идею симметрии.
П.з. (1). Дан треугольник ЛВС, в котором проведены высоты. Найти пары соответственно подобных треугольников (рис. 95). Таковы пары:
AABAt cvi Л СХВС, A ABVB cvi А АСХС, А ААХС ™ аВВхС
(прямоугольные, имеющие общий острый угол). Откуда, в частности,
АХА
>ВАХ\
\АВ\
Рис. 97
\ССХ\ \ ВСХ\ \ВС\
П. з. (2). Основания высот д ABC соединены. Найти пары подобных между собой С треугольников (рис. 96) (угол В — общий;
I AB \ | ВАХ | Л
1-- —--—; имеет место признак подобия
\ВС\ | ВСХ | v
треугольников). Таким образом, решение п. з. (1) обеспечивает решение п. з. (2) (рис. 97).
В свою очередь п. з. (2) обеспечивает решение данной задачи (если от равных величин вычесть поровну, то останутся равные величины).
1) А АВАХ ~ А СХВС (ВАХА = ВСХС = &%
Z.ABC — общий) по признаку подобия прямоугольных треугольников (рис. 98).
92
2)
1 АВ] = [ ВА1Г ^ |
|ЯС| ISQI' ^АЛЯС^АС^ Z. ЛВС — общий]
(имеет место признак подобия треугольников).
ВАХСХ = ВАС (если бы ВАХСХ = ВСЛ, то было бы Сх Ах || Л С, что не имеет места, так как А ЛВС произвольный).
3) А АХСВХ оо А ЛВС (аналогично второму шагу решения).
ВАС = ВАС.
Рис. 98
4) вл^х = в л с,
вас = влс
ВАХСХ = вас-
5) л^ —биссектриса /LCXAXBX, что видно из вспомогательного чертежа и следует из свойств равенства, условия и четвертого шага решения (рис. 99).
