Учись решать задачи - Колягин Ю.М.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим теперь, что нам известны точки Е и F — основания высот BE и CF треугольника ABC, а также прямая /, на которой лежит высота AD. Мы должны указать на прямой / такую точку D, чтсбы в A DEF прямая / шла по биссектрисе. Для этого достаточно построить точку Еъ симметричную точке Е относительно прямой /, и принять за D точку пересечения прямых EXF и I. Докажите, что прямая ВС должна служить биссектрисой внешнего угла D A DEF, а прямые АС и А В — либо обе биссектрисами внутренних, либо биссектрисами его внешних углов Е и F. Искомых треугольников ABC существует два, если прямая / не проходит через середину отрезка EF, бесконечно много, если она проходит
12
12
60
2
6
87
Рис. 90
и перпендикулярна этому отрезку, и нет ни одного, если она проходит, но не перпендикулярна. Серия задач.
Например, «Построить треугольник, если заданы прямая, на которой лежит его основание, и две точки, являющиеся основаниями высот, опущенных на боковые стороны».
Решение. Докажите, что в любом А ЛВС окружность, построенная на основании АС, как на диаметре, проходит через точки Е и F — основания высот, опущенных на боковые стороны (рис. 90). Пользуясь данными задачи, т.е. зная точки Е, F и прямую/, на которой лежит Л С, легко восстановить эту окружность: ее центр будет лежать на пересечении прямой / и перпендикуляра, проведенного через середину отрезка EF. Построив эту окружность, мы найдем точки пересечения ее с /. Одну из них можно принять за А, другую — за С. Третья вершина В треугольника находится как точка пересечения прямых АЕ и CF.
Проверьте, что если отрезок EF не перпендикулярен прямой /, то существуют два треугольника, удовлетворяющих требованиям задачи, а если EF _L /, то их либо нет совсем, либо (если точки Е и F симметричны относительно прямой /) существует бесконечно много.
10.7. Надо задавать вопросы так, чтобы каждый последующий вопрос уменьшал вдвое количество остающихся возможных вариантов. При такой системе, чтобы угадать один из 2п вариантов, достаточно п вопросов.
Всего имеется 10 цифр: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, тогда, возможных телефонных номеров имеем 105 • 105 > (23)5, т. е. 105 > 215. Значит, 105 < 217 хватит 17 вопросов. Сами вопросы можно задавать по-разному. Например, можно спросить: «Верно ли, что ваш номер больше 50 000?» Если ответили «да», то второй вопрос может быть такой: «Больше ли он 75 000?» И т. д.
§ 11. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
ПЛ. Обозначим на схеме (рис. 91) знаками «+» и «—» рыцарей различных станов. Мысленно исключим всех рыцарей одного стана,
сидящих рядом, кроме последнего (против часовой стрелки); получим, что число рыцарей первого и второго станов стало одинаковым, а вместе — число четное. Мы исключили всех рыцарей, справа от которых сидел друг, и оставили всех рыцарей, слева от которых сидел враг. По условию число их одинаково Рис. 91 (четное), таким образом общее число
88
всех рыцарей делится на 2 и еще раз на 2, т. е. на 4.
11.2. Допустим, что шарик находится в точке С. Из рисунка 92, а ясно движение шарика. Поэтому, поместив второй шарик на прямой (SN), ответим на вопрос задачи. Однако шарик S можно поместить и в некоторых точках прямых,' параллельных диагонали (АВ), и на самой диагонали. Исследование поможет найти эти точки.
Если имеем прямоугольный бильярд, то движение первого шарика (В) показано на рисунке 92, б. Покажем, что (ВК) не параллельна прямой (PN). Для этого достаточно доказать, что угол 1 не конгруэнтен углу 2. Z. 2 ^ /LDNK, в свою очередь, A.DNK Z. KBLB (так как
(FD) || (ВВХ))Л = 2 • KBVB (так как Z.1 — внешний для /\ВКВХ). Имеем, Z. 2 ^ /LDNК, следовательно, Z. 2 Z. /(BiB,'? = 2 X
n/ в
Y / А
к
1 \
1 '/-*
с,
о;
Рис. 92
ККВХВ. Значит, 1 > 2, тогда (ВК) непараллельна (PN).
Таким образом, по прямой (PN) второй шарик пускать нельзя (по условию задачи второй шар должен двигаться по прямой, параллельной (AD)). Если же шарик С пустить в нужном направлении, даже так, чтобы он ударился о борт (FD) в точке N, то, как было показано раньше, (С2М) не будет параллельна прямой (ВК). Следовательно, для прямоугольного бильярда задача не имеет решений.
П.З. Рассмотрим решение этой задачи.
а) Пусть сопротивления проводников равны соответственно и R2 Ом. По условию задачи можно составить систему уравнений:
\Ri 4- Ri = й,
.Я, Я2 Ь
б) Преобразуем эту систему, помня, что Rt > 0, i?a > 0. /?! + Rt = а, ( /?! + Rt = а,
Rl + #2 =1 .
Я, ¦ Я, Ъ '
Ri - R2 = ab.
89
в) Используя теорему Виета, приходим к уравнению х2 — ах + + ab = 0, корни которого хг и х2; = xlt R2 = х2 или RX = хг, R.z = xlt причем
_ о -f У~а(а — 46) _ а — /а(а — 46)
*i - 2 , *s - 2
г) Оба корня действительны при условии а — Ab ^> 0, или я^--> 46, или (так как b > 0) — ^ 4; оба корня являются решением
системы, если они положительны; это условие соблюдается, так как Rx + R2 = а > 0, R2 ¦ Rx = ab > 0. При a <4b решений нет.
