Учись решать задачи - Колягин Ю.М.
Скачать (прямая ссылка):
Больше нельзя провести ни одной прямой, точек пересечения.
' Теперь докажем, что на месте многоточия не может стоять число, отличное от 2. Если точка пересечения одна, то прямых может быть любое число: все они проходят через эту точку. Если число точек пересечения п > 2, то число прямых определено неоднозначно.
* Математические соревнования. Геометрия, БФМШ. М., 1974, вып. 4.
Дорога
не увеличивая числа
81
а)
Например, на рисунке 79, б можно провести прямую ал+1 параллельно ап, а можно не проводить, на число точек пересечения это не влияет.
Ответ: п = 2.
5.3. х — 5 — у, причем у ^ 5.
1 у + Ь-у
1 + 1 = х у
+
у(5 - у)
у(5-у)
Отсюда у ф 5, у ^ 0, у = 1, 2, 3, 4. у = 2, х = 3 или у = 3, х = 2, тогда
J____1___1____1__
х у~ 23~~ б" Рассмотрели случай, когда х, у — натуральные числа.
Если х, у — дробные числа, то выражение —у2 + 5у имеет максимум при у = (0 + 5) : 2 = = 2,5 равный —6,25 + 12,5 = 6,25. Тогда искомое наименьшее значе-
500 4 ние равно — = —. v 625 5
5.4. Ключом к решению является догадка о том, что каждый из треугольников состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников, приложенных друг к другу равными катетами двумя способами.
5.5. Если Л = В, то \СМ\= \CL\.
Пусть А < В С
2S + C А + В + С
>
в +
MLC > 90° и I CM i >
2
ICL I
= 90°
но MLC =
т. е. |Ш |>|CL| (рис. 80).
§ е. составляй свои задачи 6.1. Поразмыслим над этой ситуацией.
1) Всегда ли биссектриса угла находится между медианой и высотой?
2) Определяют ли медиана, биссектриса и высота треугольник так, как, например, периметр определяет три его данные стороны?
3) Можно ли вычислить угол между биссектрисой и медианой, биссектрисой и высотой, зная углы треугольника? И т. д.
Остается только перефразировать эти вопросы, оформив текст в виде задач, да еще каких задач! Сделаем это. Впрочем, вы сможете
82
с этим справиться сами. Вот удастся ли вам быстро решить эти задачи, мы не уверены.
6.2. Например: «А нельзя ли построить треугольник, если заданы середины двух его сторон и прямая, которой принадлежит биссектриса, проведенная к одной из этих сторон?»
Решение. Пусть задана прямая /, на которой лежит биссектриса угла В, точка Е — середина стороны ВС и точка F — середина стороны АС треугольника ABC. Нетрудно указать одну точку, которая заведомо лежит на прямой А В, это точка D, симметричная точке Е относительно /. Кроме того, мы знаем и направление прямой АВ: она параллельна EF. Построив по этим данным прямую А В, мы последовательно найдем вершины В, Си А. (Искомый треугольник существует тогда и только тогда, когда луч EF пересекает прямую /. При этом условии треугольник определяется единственно.)
6.3. 1) Обозначим \АС\ = а и \BN\ = = ах (рис. 81);
2) Л АРК =" A MBN s A EFC (треугольники
1 iiaJrT
ние); 3)а! =-а; 4) 3 S = Л?_/-
° аарк 4
Рис. 80
Рис. 81
равносторон-
- »
12
5) 3S
Д арк
3 Д абс
§ 7. КАК ОФОРМЛЯТЬ ЗАПИСЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
7.1. Предположим, что некоторые из 500 000 сосен имеют попарно различное число иголок. Тогда среди 500 001 сосны всегда найдутся две такие, у которых число иголок одинаково, так как на каждой сосне (по условию) не'более 500 000 иголок. Текстовая запись решения весьма удобна.
7.2. Для оформления решения этой задачи и для поисков самого решения удобна запись в виде отрезковой диаграммы (рис. 82).
7.3. Решение и оформление его удобно провести в виде схемы-графа, из которой легко виден ответ па вопрос задачи — каждый игрок сыграл по две партии (рис. 83).
7.4. Составим наглядную схему условия задачи (рис. 84). Из рцсунка ясно, что по 2 стороны каждого ломтика — всего 6 сторон; на сковородке умещаются два ломтика, значит, понадобится 3 мин.
83
Рис. 84
1
3
2
Ч
§ 8. ИЗУЧИ САМОГО СЕБЯ
8.1. Например, туча — куча — кура — кара — пара — парь — гарь — гать — геть— деть — день.
8.2. 29 треугольников.
8.3. См. рис. 85.
8.5. Рассмотрим промежуток времени в Т с между двумя последовательными моментами времени, в которые первое тело «догоняет» второе. За это время первое тело сделает а оборотов, второе тело сделает а — 1 оборотов (а — не обязательно натуральное). Если первое тело делает один оборот за х с, то второе тело делает один оборот за (х + 2) с.
Тогда а • х = (а — 1) • (х + 2), откуда а = (х + 2) : 2. В то же время х • а = — 12, и потому х (х + 2) = 24. Значение х = —6 не годится; значение х — 4 есть ответ на вопрос задачи.
8.6. а) 6; б) 14; в) 324 = (449 + 523) : 3.
8.7. 154; разности пар рядом стоящих чисел: 15, 17, 19, 21.
8.8. Искомая фигура X, так как она является составной частью первой из фигур в третьей строке.
8.9. 1) 639 = 6 • 39 + 63 • 9 — 6 • 3 • 9; + 68 • 8 — 6 • 8 • 8.
2) 18 + 39 = 57, а 1.9 + 3-7 = 5-6.
3) 183 = 5832, а5 + 8 + 3 + 2 = 18; аналогично для 263 , 273. Другие числовые «неожиданности»:
а) 13 • 52 + 13 • 52 = 1352; б) 20 + 25 = 45, а 452 = 2025; в) 1827 = 21 • 87, а 2187 = 27 • 81.
