Учись решать задачи - Колягин Ю.М.
Скачать (прямая ссылка):
Тот же вопрос для пятиугольника, никакие две стороны которого непараллельны.
Эти вопросы мы адресуем вам. Ответив на них, вы обнаружите новые возможности покрытия пола различными паркетами или керамической плиткой.
2. Надеемся, вы решили задачу 3 предыдущего параграфа. Итак, как нужно играть на выигрыш? Кто выигрывает — начинающий или его партнер? Вы ответили на эти вопросы? (Приведем ответ: начинающий выигрывает, он называет 1, а затем 4, 7 и 10.) Как составить правила этой игры при-счете до 12, до 20? Какую еще аналогичную данной игру можно изобрести и каковы будут ее правила «на выигрыш»? Ответы на эти вопросы у вас уже должны быть.
В жизненной практике часто возникают задачи игрового характера. Таковы, например, многие спортивные задачи, задачи, возникающие в военном деле, и т. д.
Попробуйте свои силы на следующей учебной игровой задаче.
Задача. Для игры нужен прямоугольный лист бумаги и какие-либо фигуру одинаковой и симметричной формы, например косточки домино. Количество фигур должно быть достаточным, чтобы покрыть весь лист бумаги. Играют двое. По очереди кладут фигуры в любых положениях на любое свободное место листа бумаги до тех пор, пока их класть будет некуда. Передвигать положенные фигуры не разрешается.
Считается выигравшим тот, кто положит предмет последним.
Найти способ ведения игры, при котором начинающий игру обязательно выигрывает.
3. Для многих прикладных задач характерна еще одна особенность. При решении их мы часто бываем ограничены в средствах решения (нередко не оказывается под рукой нужного инструмента или возникает естественное препятствие, которое не дает возможности использовать известный способ решения). С примерами таких задач вы уже познакомились в § 3. Вот еще несколько таких задач (решите их).
Задача А. Построить биссектрису угла, вершина которого не уместилась на чертеже.
Задача Б. Используя только циркуль, найти точку касания прямой, проходящей через данную точку А, и данной окружности (О, R).
61
Задания для самостоятельной работы
Задача 11.1. Долго враждовали между собой рыцари одного древнего королевства. Наконец всем это надоело и обе стороны согласились на перемирие. Когда рыцари из двух враждующих станов собрались за круглым столом, оказалось, что число тех из них, справа от которых сидит враг, равно числу тех, справа от которых сидит друг. Доказать, что число собравшихся за столом делится на 4.
Задача 11.2. Из точки С квадратного бильярда пускаем шарик параллельно диагонали. Найти множество таких точек на бильярде, что если из них пустить одновременно с первым с той же скоростью и в том же направлении второй шарик, то они столкнутся .
Попробуйте решить аналогичную задачу для бильярда прямоугольной формы и подумайте, какие еще другие задачные ситуации скрыты в этой задаче. Как можно дальше развить эту проблему? Какие еще вопросы можно поставить?
Задача 11.3. Известно, что два проводника с током при последовательном включении в цепь имеют сопротивление а Ом, а при параллельном включении — ЬОи. Можно ли установить сопротивление каждого проводника, если у нас нет омметра?
Задача 11.4. Можно ли покрыть шашечную доску размером 10 X 10 плитками размером 4x1?
Задача 11.5. Пользуясь одной линейкой, опустить перпендикуляр из точки А на диаметр данной окружности. (Рассмотреть различные положения точки относительно окружности.)
Задача 11.6. Приведите свои примеры задачи (или отыщите в литературе), которые вы отнесли бы к прикладным задачам.
Задача 11.7. Фабрика по выпуску туфель для мальчиков и девочек применяет сырье двух видов, запасы которого ограничены. За 1 ч фабрика может расходовать 100 единиц первого вида сырья и 60 единиц второго. Для изготовления за 1 ч пары туфель для мальчиков необходимо 3 единицы сырья первого вида и 2 — второго; для изготовления пары туфель для девочек расходуется только 2 единицы сырья первого вида. Известно, что каждая пара туфель для мальчиков дает при продаже 5 денежных единиц дохода, а пара туфель для девочек — 3 единицы. Сколько пар туфель для мальчиков и сколько пар туфель для девочек надо изготовить за 1 ч фабрике, чтобы получить наибольшую прибыль?
§ 12. КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧУ
Рассмотрим на примере решения одной задачи, как можно использовать данные вам советы.
Задача. Диагонали трапеции с основаниями а и b взаимно перпендикулярны. Какие значения может принимать высота трапеции?
62
Советы решающему задачу
Решение задачи
1. Начиная решение задачи, необходимо хорошо понять задачу, осмыслить ее условие, изучить задачу в целом и в деталях, иллюстрировать задачу грамотным и четким рисунком или схемой.
А К а в Рис. 63
Рис. 64
2. Изучите цель, поставленную задачей: «Хорошо понять вопрос—значит уже наполовину ответить на него». Не начинайте решение задачи вслепугп, Выбе-рите сначала целесообразные направления поиска плана решения задачи, руководствуясь целью задачи. Если это полезно, видоизмените данную ситуацию.
Рис. 65
Начертим произвольную трапецию с взаимно перпендикулярными диагоналями (лучше не равнобедренную и не прямоугольную, чтобы не принять какое-либо частное ее свойство за общее). Основания трапеции | AD\ = a, I ВС\ = b. [ВК] — высота трапеции (рис. 63).
