Учись решать задачи - Колягин Ю.М.
Скачать (прямая ссылка):
Естественно, что эта задача будет проблемной лишь при условии, что свойства ромба не изучались еще на уроках или по учебнику. Здесь четко определено, что дано — ромб. Очень плохо определена цель (но все же она есть) — изучить свойства ромба (какие? сколько? зачем?). Совсем не определено то, как изучать, на что опираться, как обосновать выявленные свойства ромба, т. е. не определено ни решение, ни его возможное обоснование.
В качестве второго примера возьмем известную уже
53
задачу и ее возможные следствия: «Построить треугольник поданным трем серединам его сторон» (см. § 6). Какое множество задач может возникнуть в связи с этой задачей!
Самое важное для нас заключается в том, что проблемные задачи «окружают нас со всех сторон». Они только не сформулированы, не поставлены четко. Прежде всего их нужно обнаружить, «увидеть», а затем сформулировать. Сформулировать такие задачи и отыскать их не так трудно, как кажется на первый взгляд.
Практически, текст почти каждой задачи школьного курса математики можно перефразировать так, чтобы получилась проблемная задача.
Для того чтобы создать серию задач из данной задачи — сделать ее проблемной, нужно лишь поразмыслить и использовать известный вам «метод» под названием «А нельзя ли..,?».
Давайте вместе поразмыслим над какой-нибудь задачей, и лучше всего над такой, которая кажется нам совсем обычной, и даже с известным решением. Возьмем, например, задачу: «Сократить 8а3+&3
Дробь 8а3+{2а_ь/-
Отметим сначала то, что мы знаем в связи с этой задачей.
1) Мы знаем, что если числитель и знаменатель имеют общий делитель, то дробь сократима.
2) Мы знаем, что для выделения делителя необходимо разложение на множители, и знаем различные способы разложения.
3) Мы знаем тождества сокращенного умножения. И т. д.
Что мы можем извлечь из этих знаний? Что можно было бы еще угнать (и интересно было бы узнать) в связи с данной задачей? Какие новые задачи можно было составить самим, отправляясь от данной задачи?
Будем думать вместе и отвечать на эти вопросы последовательно, вопросом на вопрос, используя известный нам метод «А нельзя ли...?».
1) Для начала решим эту задачу:
8а3 + Ь3__(2а+&) (4а2—2аЬ+Ь*-)
8а3+(2а—bf ~~ (2а+2а—Ь) (4а2—2а(2а—Ь) + (2а — й;2) = (2а+Ь) (4<:2—2я&+02)___2а-\-Ь
= (2я+(2д—b)) (4а2—2а6+62) ~~ 2а + (2а— Ь) Что же получилось?
(2а)3+63 _ 2а-4-6
(2fl)3+(2a— bf ~ 2a+(2a—b) '
Любопытно!
Вот вам и нельзя (!) сокращать показатели степеней. Значит, к известным тождествам можно добавить еще одно: а3+#» _ a+b ? a3+(a—bf ~~ a+(a—b) ' Или нельзя? Вот и возникла проблемная задача!
2) А нельзя ли найти еще аналогичные любопытные тождества?
54
1
* !
ab
____1
ab |
b2
Рис. 53
a b
с
—i—i
Вот вам и новая проблемная задача!
3) При разложении на множители способом вынесения общего множителя за скобки мы пользуемся распределительным законом умножения относительно сложения (или вычитания), т. е. х (у + z) = ху + xz (справедливо для любых х, у и z).
А нельзя ли получить распределительный «закон» сложения относительно умножения:
х + уг = (х + у) (х + г)?
При х + у + z — 1 получается. Проверим:
(х + у) (х + z) = (1 - г) (1 - у) = = 1 — z — у + yz=x+yz.
Попробуйте-ка найти еще значения х, у и 2, при которых справедлив этот «закон». А нельзя ли таким образом «открыть» новые «законы»?
Опять проблемная задача!
4) Мы знаем тождества сокращенного умножения. А нельзя ли графически их проиллюстрировать?
Попробуем это сделать (рис. 56 и 57). Начнем с самого простого:
(а + bf = а2 + 2ab + Ь\ (а + Ъ + с)2 = а2 + & + с2 + 2аЬ + + 2ас + 2Ьс. Заманчиво! <si
А нельзя вывести таким образом новые к тождества? Например, (а + Ъ -f-с + d)"- = ? И т. д.
Опять проблемная задача!
5) Нельзя ли таким же способом проиллюстрировать кубические тождества (а+Ь)3 = а3 + За2Ь + ЗаЬ* + Ь3, (a+b+с)3 =?
И т. д. Новая проблема! При этом, наверное, придется «выходить в пространство» (рассматривать не квадрат со стороной а + b + с, а куб с гранью а + Ъ + с). А может быть, удастся получить новые тождества?
6) Графическая иллюстрация тождеств сокращенного умножения получается очень хорошо. А нельзя ли использовать этот способ при разложении на множители?
Возьмем самый простой пример: «Разложить на множители х2, + 5* + 6». Изобразим данный трехчлен графически (рис. 58), где х2 — это площадь квадрата со стороной х; х —это площадь прямоугольника со стороной х и 1;
Рис. 57
л+3
Рис. 58
5Ь
X2
X
1
х+д
Рис. 59 2x4-5
Рис. 60
Ъх — это 5 таких площадей; 6 — это 6 площадей единичных квадратов.
Итак, данный трехчлен представлен площадью прямоугольника со сторонами (х + 2) и (х + 3), т. е. х2 + 5х + 6 = = (х + 2) (х+3). Интересно!
