Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Множества факторов. Рассматриваемое множество факторов X обозначается {Хи X29 Xn}. При использовании фактора X0 он также «включается в множество X. Если множество факторов Y является подмножеством множества X9 то множество Y будет именоваться просто фактором Y.
Дополняющие друг друга множества факторов. Если два множества факторов, например Yx и Y29 являются разбиением X9 то будем называть Yx и Y2 дополняющими друг друга. Часто дополнение к множеству У будет обозначаться через 7.
*> Или, что то же самое, критерии. См. прим. на с. 45. (Прим. ред.)
273
Независимость по предпочтению и независимость по полезности. Независимость по полезности множества факторов Yx от его дополнения F1 для сокращения будем обозначать УіЄІЛ, а независимость по предпочтению множества факторов Y2 от его дополнения Y2 .как Y2^Pl. Такая запись будет использоваться в тех случаях, когда она не приводит к двусмысленности. Кроме того, следует постоянно помнить, что оба обозначения UI и PI подразумевают независимость относительно дополнений ік упоминаемым множествам факторов.
Последствия. Пространство последствий XiXX2X ... XXn представляет собой прямоугольное подмножество конечномерного евклидова пространства. Сами последствия обозначаются через X= (хи х2у хп), где Xi — конкретное значение фактора ХІ9 /= = 1, 2, я. Говоря о подмножестве Y из X и его дополнении F, последствие X часто будем обозначать через (у9 у). Так, например, когда дг=5 и Y=[Xu Xs}y то у=(хи х3)9 а у=(х2> х4, хъ).
Функции полезности. Так же, как и в предыдущих главах, в данной главе будет предполагаться, что допущения, обеспечивающие существование функции полезности, например, такие, как аксиомы фон Неймана и Моргенштерна (1947), справедливы. Кроме того, будем предполагать, что функция полезности и непрерывна по каждому Xi и ограничена. При изложении будут использоваться следующие эквивалентные обозначения функции полезности: и(х)9 и(хи х2, Xn) и и(у9 у).
Шкалирование. Символами х*=(х*]9 х*2, х*п) = (у*9 у*) и л;0= (jc°i, jt°2, х°п) = (у°9 у0) будут обозначаться соответственно наиболее и наименее желательные последствия. Шкала для функций полезности обычно выбирается так, чтобы выполнялось и(х°)=0 и и(х*) = \. Во избежание многократного повторения нулевых индексов иногда будут использоваться нестрогие обозначения. Например, функция* и(хи х°29 хс$9 x°n)f и(х°и X29 х\ д:4, я°5, х°е) иногда будут обозначаться через и(х{) и и(х2, X4) соответственно. Это значит, что значения всех факторов, не входящих в качестве аргументов в эти функции, принимаются равными наименее желательным значениям. Конечно, такая система обозначений не является согласованной в строгом смысле, но из контекста будет понятен смысл обозначений, и авторы надеются, что это позволит избежать возможных недоразумений.
6.1.2. Понятие независимости. Дадим необходимые обобщения введенных в предыдущих главах понятий независимости по предпочтению и независимости по полезности.
Определение. Фактор Y9 Y^X9 не зависит по предпочтению от своего дополнения Y9 если порядок предпочтения последствий, различающихся лишь значениями факторов из У, не зависит от фиксированных значений факторов из У.
Независимость по предпочтению подразумевает, что условные кривые безразличия, заданные на Y9 не зависят от факторов ?. Это понятие касается предпочтений лица, принимающего решение, относительно лишь тех последствий, которые не связаны с
274
какой-либо неопределенностью. Формально независимость по предпочтению определяется следующим образом: YePI тогда и только тогда, когда для любых последствий у\ у", у+ справедливо
(У'> т > (и", т Ч> у) > (у", у) Для всех у. (6.2)
Независимость по полезности связана с предпочтениями относительно лотерей, т. е. здесь уже предполагается наличие неопределенности.
Определение. Фактор Y не зависит по полезности от своего дополнения У, если условный порядок предпочтения лотерей, исходы которых различаются лишь значениями факторов из У, не зависит от фиксированных значений факторов из У.
Формально это определение может быть записано следующим образом: YeUI тогда и только тогда, когда для любых лотерей у', у" и последствия справедливо
(у', m > (у\ m =4 (Г, у) > (Г, у) для всех у. (6.3)
Из определения следует, что если YeUI, то YePI. Обратное утверждение не всегда справедливо. Это легко понять, заметив, что вырожденные лотереи, в которых отсутствует неопределенность, идентичны самим последствиям. Следовательно, условие независимости по предпочтению может быть сформулировано в терминах порядка предпочтения только для вырожденных лотерей. Поскольку условие независимости по полезности, если оно справедливо, должно выполняться для всех лотерей, в том числе и для вырожденных, то, действительно, YeUI влечет YePI. Независимость по полезности является более сильным условием.
Если фактор Y не зависит по предпочтению от фактора Y и задана функция полезности и, то
Ыу'> у+)>и(у"> у+)} И</'> у)>и{у"> у)] Для всех у,
(6.4)
где —произвольное фиксированное значение у. Аналогично, если фактор Y не зависит по полезности от Y, то поскольку функции полезности единственны с точностью до положительного линейного преобразования, справедливо следующее выражение:
