Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
&y = jty. (5.79)
Система уравнений ;(5.76), (5.78) и (5.79) содержит три неизвестные величины kY, kz и kzr и может быть решена относительно них. Для яу = 0,5 и Uy [у') =0,8 легко найти, что
6у = 0,5, ?z = 0,4 и 6yZ = 0,l. (5.80)
Распространим приведенные рассуждения на более общий случай. Результаты, полученные •b настоящей главе, позволяют выразить функцию полезности и(у, z), зависящую от двух факторов, через условные функции полезности от отдельных факторов и соответствующие шкалирующие константы. Так, если мы используем NnM условных функций полезности (построенных соответственно для факторов Y я Z) и R шкалирующих констант, то функцию полезности и (у, z) можно выразить следующим образом:
и(У> z)=f[uly(y), ':,и"*(у), ulz(z), uMz(z)y ku k2i kR],
(5.81)
где f имеет определенную функциональную форму. Функции полезности в выражении (5.81) могут быть шкалированы так, чтобы они изменялись от 0 до 1, поскольку их значения согласуются при помощи шкалирующих констант.
Таким образом, для расчета R шкалирующих констант необходимо найти R независимых уравнений и решить их. Как было показано, каждое уравнение может быть получено из рассмотрения детерминированных исходов и лотерей.
Здесь возникает важная для практических приложений задача — как избежать зависимости между уравнениями. В практических ситуациях наше понимание проблемы и знание функционального вида функции полезности, по-видимому, являются лучшими помощниками в получении независимых уравнений. Когда среди составленных уравнений все же оказываются зависимые, необходимо вместо такого зависимого уравнения найти «а основе эмпирических данных другое независимое уравнение и включить его
в систему. Для иллюстрации вернемся к описанному выше примеру.
Предположим, что после того, >как получено выражение (5.78), были ^найдены такие значения у" и г", при которых последствия ІУ > z°) и (у°, z") являются одинаково желательными. Тогда, приравнивая ожидаемые полезности этих исходов, получаем
kYuT{y"y=kzUz{2f'). (5.82)
Выражения (5.76), (5.78) и ,(5.82), очевидно, представляют собой систему трех уравнений с тремя неизвестными, но уравнения {5.78) и (5.82) зависят друг от друга. Каждое из них связано с согласованным шкалированием функций uY и wz. Для того чтобы обойти это затруднение, можно, очевидно, использовать шкалирование на основе сравнения лотерей, что было сделано в приведенном выше примере. Если но каким-либо причинам удобнее использовать шкалирование на основе сравнения детерминированных исходов, можно найти такое значение у", при котором последствие (#", z*) равноценно последствию (у*, z°). Тогда, естественно,
kY=kYuY{y") +kzr+kYzuY{y"), (5.83)
где значение uY{y") известно. Полученное теперь уравнение (5.83) не зависит ни от уравнения (5.87), ни от (5.82). Поэтому уравнения (5.76), (5.78) и (5.83), например, могут быть выделены в систему и решены относительно неизвестных kYf kz и kYZ, а выражение (5.82) можно использовать для проверки внутренней согласованности получаемой функции и(у, z).
5.8.5. Проверка согласованности и проведение итераций. Для поиска и обнаружения ошибок в построении функции полезности существует большое количество различных способов проверки.,Под такими ошибками понимается неадекватность найденной функции полезности и предпочтений лица, принимающего решение. В этом параграфе нами описаны три способа проверки такой согласованности. На основе этих способов аналитик легко может разработать и новые процедуры проверки, позволяющие обнаружить подобную неадекватность, если она имеется.
Один .из предлагаемых нами методов проверки основан на использовании парных сравнений различных последствий. Так, для проверки полученной функции полезности можно обратиться к лицу, принимающему решение, с вопросом: предпочитает ли он последствие (уи Zi) последствию (у2, Z2)? Если это так, то при наличии согласованности значение функции w(yu Zi) должно быть больше значения и(у2, Z2). Такого рода проверка может быть повторена столько раз, сколько требуется для того, чтобы появилась уверенность в ее результатах. При этом разумно начинать с более простых сравнений и постепенно переходить к более трудным. Подобная организация процедуры позволяет подготовить лицо, принимающее решение, к вынесению суждений в трудных ситуациях выбора между последствиями.
260
Более систематизированный способ организации такой процедуры состоит в использовании функции U9 определенной на YXZy для получения семейства кривых равного предпочтения на плоскости YXZ (конечно, предполагается одномерность каждого из факторов Y и Z). Затем лицу, принимающему решение, предлагается установить, представляются ли ему обосновавдыми такие кривые.
Другой способ проверки функции полезности — выяснение степени склонности лица, цринимающего решение, к риску. Для этого ,используются последствия, располагающиеся на положительных лучах вида (у, су)у где с>0. Лицу, принимающему решение задается вопрос: какой именно детерминированный исход вида (уи су\)у по его мнению, равноценен лотерее <(y2f Cy2), (Уг> сУг)>- В случае, когда функция и(yt су) является возрастающей по у, лицо, принимающее решение, можно считать не склонным к риску, если значение ух оказывается меньше (#2+Уз)/2. В § 4.4 были разработаны теоретические основы для установления склонности лица, принимающего решение, к риску при помощи различных положительных лучей такого типа. Предположим выяснилось, что он на самом деле не склонен к риску. Тогда, если предпочтительность последствий возрастает при увеличении значений факторов У и Z, то в соответствии с теоретическими положениями § 4.5 становится понятно, что при наличии согласованности производная и' (уу су) должна быть положительна, а производная и" (у, су)— отрицательна для всех у. Символы и' и и" обозначают соответственно первую и вторую производную функции и по у. Если лицо, принимающее решение, склонно к риску, то, конечно, эта склонность должна быть отражена и в функции полезности и (у, z).
