Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
6.85. ар2Ч-Ч-2с*р + 2«Гу0==й, ab > 0; уравнение с разделяющимися переменными.
Полный интеграл
z = u (х) -\~v(y)-\- В,
где и, v удовлетворяют обыкновенным дифференциальным уравнениям
аи'г -f- 2схи' = A, bv'2 -4- 2 dyy = k — Л,
Если Л = 0, то либо и —0, либо и — — х2, либо функция
и(х) описывает комбинацию этих двух кривых.
Если с —0, то нужно так выбрать знак числа Л, чтобы
а А > 0; тогда и — х У~ • Если Л ф 0, с 0, то имеем:
J
€.881 81-88.(..)p' + (..)^ + (..)p + (..)?+ ... 233
Az± VB2z2 + A2— В2 €.87. (x2 — \)[x2 (хр — z)2 — x2p2 — q2] + x2z2 = 0.
dz.
Полагая z = u(x, y)V|x2^l|, получаем уравнение л-2 (л-2 — 1)и2—и2=0.
При х2 < 1 должно быть их — иу — 0, и, следовательно, интеграл z=CYl—х2. При х2 > 1 дифференциальное уравнение можно записать как распадающееся уравнение
(х Ух2 — \их -\- иу)(х Yх2 — 1 их — иу) = 0;
каждый из множителей дает линейное уравнение. Для этих уравнений в качестве интегрального базиса находим функции
arctg Y х2 — 1 + у;
следовательно, интегралы данного уравнения
z = Ух2 — 1 й(arctgУх2—1 ± у).
€.88. (zp + х)2 + (zq +у)2 — a2z2 (р2 + q2 + 1) = 0.
Из характеристических уравнений получают первые интегралы zp-\-x и zq-\-у. Они дают два уравнения, которые состоят в инволюции не только* с данным уравнением, но и друг
') ^Где через а2 обозначено либо -ф-, либо —— Прим. ред.^
Преобразование интеграла приводит при а > 01) к выражениям:
Yx2 + a2dx = ^- Vx2 + a2+^-Arsh^-,
Г Vx2 — a2 dx = ~Yx^a~2 — ]-^-Arch LlL для |x|>a;
при этом под Arch и для и > О понимается положительная ветвь этой функции.
Таким же образом исследуется уравнение для v.
€.86. р1 — q1 — 2zp-\-z1= I; уравнение типа ч. I, п. 11.3.
Полагая z(x, y)~Z(t). ?,= Ах-\-Ву, получаем обыкновенное дифференциальное уравнение
(Л2 — В2) Ъ'=АЪ± YBV+A2— В2;
для нахождения полного интеграла надо разрешить уравнение
А2— В2
234 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [6.89
Р _ 1
** » A v v '
ху,
-f Л In
±л(>ут=т,+ь\\3?1\)+*.
А х х ' у' А у у
и при этом полный интеграл z = А (у — х) +
X
У
6.91. z(p — q)2-\~a(p-\-q)2—Ь; уравнение типа ч. I, п. 11.13.
2
(А4-В\2 ,у- (3(Ах + Ву + С) уз . , D
6.92. (p2+4^2)ch2>> — 4p0ch>> • shy = 1.
Разрешая уравнение относительно р, получают уравнение с разделяющимися переменными
p = 2qthy± chy4 ,
а отсюда — полный интеграл
z = Ах -1--^-Inch у» ± j У\ — A2atctgshy-\-B.
6.93. (ур — xq)2-{-a(xp-\-yq) — b.
Из характеристических уравнений получают первые интегралы хр-\-yq, ур — xq. Если теперь положить ур — xq— А,
с другом. Поэтому можно применить метод ч. I, п. 9.2 и получить в качестве полного интеграла семейство полусфер
(*-Л)2 + (3>-Д)2 + г2= А' + в' (2Sg0).
При а2 > 1 имеется особый интеграл (a2 — l)z2 = x2 + y2.
89-Ш. (..)рэ4-(-)^Ч-(. )PQ+-..
6.89. р2-\-ql — apq; уравнение типа ч. 1, п. 11.2.
z = Ах + Ву-\-С, где А2 + В2=аАЬ.
6.90. xp2+yq2 = 2pq.
Из характеристических уравнений получают первый интеграл 1 1 с 1
—--—. Если положить его равным -д- и использовать данное
уравнение, то находят:
6.96| 89-111. (..)р5 + (..)в2 + (..)р7+ ... 235
In (л:2 -4- у2) — A arctg — + ?.
2а v г ' ' —& j,; Если применить преобразование
У) = ?(р, т>), Ar = pcosf), y = psinf>,
то получается уравнение с разделяющимися переменными т. е.
?=Лт>4-^11пр + 5.
что приводит в старых переменных к уже найденному выше выражению.
6.94. (ур— xq)2-\-az(xp-\-yq— z) — 0.
Замена переменных z (х, у) = ? (р, f>), х = р cos f), у = р sin Ь приводит к уравнению 6.13
?|4-^(рСр-?) = 0.
6.96. (ур — xq)2 = p2-\-q2-\-l.
Из характеристических уравнений находят первый интеграл p2-\-q2. Полагают:
z(х, у) = ?(р, f>), Ar = pcosf), y = psinf> и получают уравнение с разделяющимися переменными
3~5?Ёт(!г+ 1).
а из него — полный интеграл ? = о — л arctg-^-f-A&-f В. где о2 = р2 (Л2 — 1) — А2.
6.96. (ур - xq)2 = а (А-2 +у2) (р2 + tf2 + 1).
Замена переменных
z(x, у) = ?(р, т». Ar==pcosf), y = psinf> приводит к уравнению с разделяющимися переменными
-4rL$=p*(S+1).
разрешимому только для 0 <; а < 1. Если отбросить тривиальный случай а = 0 и приравнять левую и правую части послед-
то из этого и исходного уравнений можно найти р, q и затем — полный интеграл
236 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [6.97
него уравнения к А2, то получается полный интеграл
^]/-г^-* + о+41п|-^4| + Д где 02 = Л2-р2
(следовательно, необходимо требование р2 < А2). 6.97. (xP+yq)2 = (\-z2)(p2+q2).
Особые интегралы: z = const и обе полусферы
x2-\-y2-\-z2 = [ (2^0).
Это уравнение интересно тем, что первый интеграл p/q находится легко, но метод ч. I, п. 9.3, несмотря на это, не приводит к полному интегралу. Дело в том, что указанные в ч. I, п. 9.3 условия для функционального определителя не выполняются, так как уравнение однородно относительно р, q, то при подстановке р = Aq обе производные пропадают. Однако таким методом получают еще семейство интегралов
