Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
их — — ау3иу — by6
14*
212 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [6.10
z=±(-XrYx*-{-A +4<PW)-ф + Ь\у\ + В.
где
Arsh *¦ для А > 0.
У А
ф(*)=Н signx Arch-J^L для Л < 0 и I х | > I АI, у—А
О для . А = 0;
при этом под Arch ы надо понимать положительную ветвь.
6.12. р2-\-azq — bz2; уравнение типа ч. I, п. 11.3.
z = Bexp[(x + Ay)]R], где R = — 2*- ± -1 V а2 А2 + 4Ь . Интегралом будет также функция
2 = Леа У.
6.13. p2 + az(yq — z) = 0.
Полагая
1п|2(лг, у)|=?(лг, тт), г|=1п|у|. из данного уравнения получаем уравнение типа ч. I, п. 11.2
Й-МЙч — 1) = о
с полным интегралом
?=Л* + (1 —?)Л + Я.
. . 14—20./(дг, з», г)р^-т-...
6.14. xpP=q; уравнение с разделяющимися переменными.
2 = 2 / ЛдГ -f- Лу + В.
и отсюда — полный интеграл
Полным интегралом будет также
У2 = -~у4—2-у2(*4-Л)2 + Я.
6.10. p2-{-ay2q=b; уравнение с разделяющимися переменными.
г = Ах-+ А2~Ь -4-Д. ' ау '
6.11. р2— ypq — x2—у2; уравнение с разделяющимися переменными.
Полный интеграл
6.181 H-20. fix. у, г)р>+ ... 213"
6.15. х2р2—y2q = z; уравнение типа ч. I, п. 11.6.
Полагая z — а (х) -f- v (у), получаем:
jcV2 — e = yV + o.
Уравнение имеет решение, если левая и правая части равны, нулю. Таким образом, находим полный интеграл
г = Лехру + !(1п* + Б)2.
6.16. (xp-\-zf = q.
Полагая w(x, y) — xz, получаем уравнение 6.14 xw'xs=wy;
следовательно,
~7Г . Ау + В
X 1 X
— полный интеграл. Если в данное уравнение подставить
z=u(x)-{-v(y), то получится уравнение
v' (У) = [хи' (х) -4- и (х) -4- v (у)]2, . которое удовлетворяется при
хи' -f- и = 0, v' — <Ф. Отсюда получаем полный интеграл
А 1
z •
у+в •
6.17. х2рг+аугч = Ьг2.
Полагая z(x, у) = ?(?, rj), l = lnx, tj = In у, получаем уравнение 6.12
6.18. х(х-\-\)р2— 2xzp—y2q-\-z2 — 0.
Перегруппируем члены уравнения
(хр — zf^-xp2— y2q = 0;
следовательно, это уравнение типа ч. I, п. 11.17. С помощью» преобразования Эйлера (см. ч. I, п. 11.15) из него получаете», квазилинейное уравнение
X2ZX -f- Y2Zy s= — Z2,
214 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ (6.19
Z =
у2+Щи) ' 1+Ху •
«6.20. г?р^ 4- «г9 — Ьх-\~ су.
Полагая и (л;, у) = г2, получаем уравнение с разделяющимися переменными
их — 4bx = 4су — 2аиу. Из него находим полный интеграл
г^1(4Ь4Л)Ч7У2-^ + 5.
21—33. apq
€.21. pq — a.
Характеристики этого уравнения — прямые линии. Полный интеграл
z = aAx + -^-\-B.
решения которого получаются разрешением уравнения
Z X ^ \ х у )•
Отсюда для интеграла z первоначального уравнения получают параметрическое представление
* = *x-z. *= ?{a'(_L_i-)_,}.
Для 2(и) = (Л-(- 1)и-\-В, в частности, получают полный интеграл
€.19. y(y2+l)(xp-zY + x(p2+l) = (f+l)g.
Преобразованием Эйлера ч. 1, п. 11.15 из этого уравнения получаем квазилинейное уравнение
(X* +1) zx 4- (К* +1) zY = - к (К2 +1) z2.
Из решений
т=»"+а(тт5?)
этого уравнения получаем решение первоначального уравнения в параметрическом представлении:
где
2 А" —у
6.261 21—33. apq+ ... 215-
6.22. pq — axy+b.
Из характеристических уравнений получают первые интегралы р2 — ay2, q2 — ах2. Из д2 — ах2 —А имеем:
В случае Ь — 0 см. ч. I, п. 9.6, пример 2.
6.23. pq = za; уравнение типа ч. I, п. 11.3.
Полный интеграл
2
z = (^г (А2х + у-^-В)2^. если а Ф 2; z = В ехр ^Лл: -f- j , если а = 2.
В случае а = 1 см. также ч. I, пп. 9.2 (в), 9.3, 9.5 (в).
6.24. pq — Ахауьгс\ однородное уравнение.
Полагая z(x, у) = ?(?, ч) и
—г-г, если а Ф —l; I f , л , если b ф —I;
\ Inx, если a = —l; ( lny, если b——l,
получаем p — x%%, q~y%^ и, таким образом (см. ч. I, п. П.З),.
Далее, если с Ф 2, это уравнение заменой ? = и 2_с переводится в уравнение 6.21:
Чиг> = А(* — y) •
Если с = 2, то после замены и = 1п? получаем уравнение.
6.25. pq-\-ap=bz; уравнение типа ч. I, п. 11.3.
Полагая z(x, у) = ?(?), I, — х -\- Ау, получаем обыкновенное дифференциальное уравнение
2Л?' = — а± V4Abt-\-a2. и отсюда — полный интеграл
b{x-\-Ay)+B=R-\-a\n\R — a\, где R2=4Abz-\- а2.
6.26. pq = ap-\-bq; уравнение типа F(p, q) — 0.
z = Ах-\-Ву + С, где АВ=аА-\-ЬВ.
"2V6 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [6.27
приводит к интегралу
А-
±(bx2~-^y2)+B.
2
(б) Если данное уравнение записать в виде JL±.+ aJL + bJL = 0,
х у х у
то заменой
z(x. у) = С (ё. т]), 1 = х2, f\=*y2 мы получим из него уравнение 6.26
^+«^ + «4 = 0. Получается полный интеграл
т. е. тот же самый, что и в (а).
6.27. pq — xp-\-yq.
Из характеристических уравнений получают первые интегралы
ф, р2 —2ур, q2 — 2xq, (p±q)2±2 (х±у)(р±д), а отсюда — полные интегралы в различных формах
z=xy + yVx2-{-A-\-B;
*=*У+4 j* Y?+AdZ+±j YW+Айц + В,
где
l — x + y, r\ = x—y. ¦6.28. pq:-\-xp-\-yq — z; уравнение Клеро. Полный интеграл
