Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
z = ax~\-by-\- ab, особый интеграл z — — ху. *.29. pq -f- аур -f- bxq = 0, ab ф 0.
(а) В данном уравнении можно разделить переменные. При этом подстановка
Р + Ьх _ л д + ау _ 1 Ьх ' ay А
6.35| , 34 -42. fix, у) pq+ ... 217"
(в) Если ab > 0, то можно так определить числа а, (3, что-а=+а2, Ь— ±Р2. причем оба раза берутся верхние или оба раза нижние знаки. Если положить
z{x, у) = ?(|. Л). l = $x-\-ay, Ti = P*- «У,
то получается уравнение 6.85.
;|±& = U±n&,.
Таким образом приходим к другому полному интегралу.
6.30. {p~\-a)(q-\-bz) = C; уравнение типа ч. I, п. 11.13.
Можно также воспользоваться тем, что q/p — первый интеграл, а дальше действовать согласно ч. I, п. 9.3.
6.31. p(q — siny) = sin*; уравнение с разделяющимися переменными.
z — A cos х — cos у--~-\-В.
6.32. 2(pq^-yp-\-xq)-\-x2-\-y2 = 0.
Из характеристических уравнений получим первый интеграл! р -4-q-\— х-4-у и затем будем применять ч. I, п. 9.3. Если» положить
С ft. ^z + ^ + 4, Е^, 4=.^L. то получается уравнение 6.74.
6.33. p(kq-\-ax+by-+-cz) = 1, с ф 0.
Полагая и(дг. у) =--— -\-ax-{-by-\-cz(x, у), получаем»
уравнение 6.30
(их — а) (си -4- Аму) = с2.
34—42./(дг, у)рд + ...
6.34. 2xpq — zq~a.
22 = 2(у —Л)(Бх —а).
6.35. 2лгрд — zq + ар = О.
Из характеристических уравнений получают первый интеграл pq. Если разрешить уравнения pq = A и данное относительно р, q.'ro получим:
ар = — Ил- + УоЛг -f Л2*2, zq — Ах+ Ya~AT+lVxK
218 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ-УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [6.36
Эти уравнения легко решаются подстановкой z = x2u(x, у) и затем v2 = аАи 4~ Л2. В итоге получаем соотношение для полного интеграла
(aAz 4- Л2*2)2 — -J a A2 (xz 4- ау) = Агхг~\-В.
6.36. ypq — zp-+aq — Q, афО.
(а) Напишем характеристические уравнения
| x'(t) = yq — z, y'(t) = yp + a, (1)
1 z' (г) = 2ypq —zp + aq, p' (t) = p2, q' (t) = 0.
Из них получим первый интеграл q. Если положить <7 == Л, определить р из данного уравнения и затем проинтегрировать, то получается полный интеграл
z — Ay± Y^aAx4- В. (2)
(б) Применим преобразование Лежандра ч. I, п. 11.14; придем к обыкновенному линейному дифференциальному уравнению для Z:
7 Z _ аУ
Х~ х —~х*~
{Y — параметр). Найдем Z, а затем, обращая преобразование Лежандра, мы получим параметрическое представление
jc = 2(K)4-^2, у = *2'(П-~. z=XYQ'(Y)+^.. (3)
При этом, разумеется, предполагается, что X Ф 0, т. е. что zx ф 0. Если же для решения 2^ = 0 в конечной области, то из дифференциального уравнения следует также, что zy = 0, и поэтому получается лишь тривиальное решение z = const.
Далее, предполагается, что при преобразовании Лежандра д (гх, zv)
-ЩхТуТ*0' т. е. гхЛу-г2хуФ0.
Если же zxxz—z2y — 0 в конечной области, то из данного уравнения после дифференцирования по х и у следует:
zxx (У zy - z) + zxy (yzx 4- a) = z\,
zxy (yzy — z) + zyy (yzx 4- a) = 0,
и отсюда z2 z,, = 0, z2 z, = 0. Если в области z = 0, то это уже
х уу х ху ъ X J
рассмотренный раньше частный случай. Если, напротив, z2x Ф 0, то, следовательно, zyy — zyx = 0, и отсюда zy — const, т. е.
34-42. f{x, y)pq+ ... 2Ш
А
(у±Уу*+аА).
(в) Преобразование Эйлера ч. I, п. 11.15 приводит к цели в обеих формах — и
х = Zx, у — К, z — XZX — Z, zx — X, zy = — Zy (bj> и
x — X, y — ZY, z — YZy — Z, zx = — Zx, zy — Y. (b2)
(b1) С помощью этого преобразования из данного уравнения получается линейное уравнение
X2ZX -j- (XY 4- a) Zy = XZ
с интегралами
С помощью обратного преобразования для первоначального уравнения получают интегралы в параметрическом представлении
л- = 2(и)— («4--|5-)2'(«), z=xX — XQ (и),
где и = ^—.
Если исследовать, какие интегралы пропадают из-за предположений X Ф 0 (т. е. из-за гж ^ 0) и zxx ф 0, то выясняется, что таковыми являются лишь тривиальные интегралы z = const.
Если, в частности, положить 2 (и) = А (и) 4 В, то снова получают полный интеграл (2).
(в2) В этом случае данное уравнение превращается в уравнение
ZZx = aY,
следовательно,
Z2 = 2а XY 4 22 (К).
Обратным преобразованием приходят к параметрическому представлению
z — Ay 4- ф (x). Если подставить это в дифференциальное уравнение, то можно определить ф и снова получить полный интеграл (2).
д
Если в (3) положить 2 (К) = Y -4- В, то можно исключить из (3) параметры X, Y и получить полный интеграл х — В
220 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [6.37
У
ky ~ (k-\-c)q + b
= 0. (1)
Полагая й(и) = Ли — В, получаем полный интеграл
By___ах-\- А
ах-\- А 2у
(г) Чтобы получить интегральную поверхность, проходящую через данную начальную полосу, можно для характеристических уравнений (1) определить решения, которые при t — 0 содержат интегральный элемент х0, у0, z0, р0 Ф 0, q0. Из двух последних характеристических уравнений и первоначального уравнения имеем:
q — qQ, J — ^ — УРа—zp + aq — O. (4)
Если подставить эти выражения в два первых характеристических уравнения, то получим уравнения
