Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
11. Определить наименьшее значение п0, для которого
где Д — любое положительное число.
[(а)п0 = [|/~Д4-1] ; (Ь) и0 = 14-[Д], или 2 4-[Д], в зависимости от того, будет ли [Д] нечетным или четным, т. е.
12. Определить наименьшге значение п0, для которого
(а) 0,0001; (Ъ) — 4-(—|< 0,000001
при и 23= я0. [Рассмотрим последний случай. В первую очередь,
п я2 ' я* '
1 , (-!)"" + !
— H--— й& —rs—
9 Г. Харди
130
Глава четвертая
и легко видеть, что наименьшим значением и0, для которою —^- < 0,000001
при и5гл0, буде і 1 000 002. Но требуемое неравенство удовлетворяется при « = 1 000001, и это и является искомым значением па.\
63. Некоторые общие теоремы о пределах. А. Поведение суммы двух функций, поведение которых известно.
ТЕОРЕМА I. Если ср (я) и ф (я) стремятся к пределам а и b соответственно, то ср (я) -\-ф (я) стремится к пределу а-\-Ь.
Это почти очевидно1). Рассуждение, которое должно сразу же притти в голову читателю, примерно следующее: „когда п велико, ср (я) почти равно а и ^ (я) почти равно Ъ, и поэтому их сумма почти равна а-\-Ь". Однако уместно провести рассуждение во всей полноте.
Пусть S— любое заданное положительное число (например, 0,001, 0,000001,...). Мы должны показать, что может быть найдено такое число я0, что
|<р(я) + ф(я) —а —&|<8 (1)
при п^п0. Но, по предложению, доказанному в гл. III (даже в более общем виде,, чем это требуется в данном случае), модуль суммы двух чисел меньше или равен сумме их модулей. Следовательно,
I <Р (я) + Ф (я) — а — Ь I ==S I ср (я) — а | + | ф (я) — Ъ \.
') Эта фраза содержит некоторую двусмысленность, которую читателю следует разобрать. Когда говорят, что „такая то теорема почти очевидна", могут иметь в виду одно из следующих двух обстоятельств. Могут иметь в виду, что „трудно сомневаться в справедливости этой теоремы", что „теорема такова, что здравый смысл с ней интуитивно соглашается", как он соглашается, например, со справедливостью следующих предложений: „2 + 2 = 4", или „углы при основании равнобедренного треугольника равны". Что теорема „очевидна" в этом смысле, еще не доказывает ее справедливости, так как даже наиболее уверенные из интуитивных суждений здравого смысла часто оказываются ошибочными. А если теорема и верна, то тот факт, что она „очевидна", не является основанием не доказывать ее, если доказательство может быть найдено. Предметом математики является доказательство того, что из некоторых предпосылок следуют некоторые выводы; то обстоятельство, что эти выводы могут быть столь же очевидными, как и предпосылки, никогда не избавляет нас от необходимости доказательства и не уменьшает его интереса.
Но иногда (как в данном случае) фраза „это почти очевидно" означает нечто совершенно отличное. Здесь мы имеем в виду, что „минутное размышление не только должно убедить читателя в справедливости утверждения, но и показать ему пути к строгому доказательству". Поэтому часто, когда утверждение „очевидно" в этом смысле, мы можем опустить доказательство, но не потому, что доказательство излишне, а потому, что его проведение было бы ненужной тратой времени, так как читатель может легко провести его сам.
Эти замечания были сообщены мне много лет назад проф. Литтльвудом.
Пределы функций от целочисленного переменного 13І
Таким образом, требуемое условие будет наверно выполнено, если можно будет найти яп такое, что
|9(л) —а| + |«>(я) —й|<8 (2)
при п^па.
Если задано любое положительное число 8', мы можем найти H1 так, что |ф(я)— а\<^о' для H^n1. Возьмем 8' = у 8, так что
[ф(я)~- а|<^у8 при я^:Я1. Аналогично, мы можем найти я2 так,
что I 'Ь (я) — Ь\<^~Ъ при я^я3. Возьмем теперь в качестве я0
большее из двух чисел H1 и я3. Тогда | ф (я) — а | <^ — 8 и
|ф(я) — #|<^у8 ПРИ п^п(,> а, следовательно, (2) удовлетворяется, и теорема доказана.
Это рассуждение может быть кратко сформулировано так: из Hm <р (я) = а и Нт<Ь(я) = й следует, что мы можем найти H1 и я2 такие, что
|<р(л)—а|<у« (л Sim), |ф(л) —ft|<y« (л Ss я,),
а тогда, если я не меньше чем Яі и я2,
I <р (я) + ф (я) — а — * J s? I <р (я) — а | + | 6 (я) — * | < Ь, а следовательно,
Hm {<р (я) -(- ф (я)} = а -4- ?.
64. Предложения, дополняющие теорему I. Читатель без труда докажет следующие предложения.
1. Если ф (я) стремится к конечному пределу, a if (я) еяг/>е-мится к-\-со или к — оо или колеблется (ограниченно или неограниченно), то ф (я) -\- і( (я) ведет себя так же, как ty(n).
2. /5сли ф (я) со и ф (я) -(- со, или ограниченно колеблется, то ф (я) -j- (j/ (я) —>--)- со.
В этом утверждении мы, очевидно, можем псюду заменить -)- со на —• со.
3. Если ф (я) —>- -4- со и <}/ (я) —>- — со, то <р (я) -)- <j/ (я) может либо стремиться к конечному пределу ,-либо к -\- со, либо к — со, лис5о ограниченно или неограниченно колебаться.
Эти пять возможностей могут быть проиллюстрированы, соответственно, следующими примерами: (1) <р (я) = я, •I» (я) = — я, (2) <р (я) = яа, ф (я) = — я, (3)<р(л) = л, ф(л) = — п\ (4) <р („) = „+(_!)«, i(n)==_n> (5) ?(n) = = я2-|-(— If я, ф(я) = — я2.
