Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
Ю00{1 + (-1)"}1<1,
если я ^> 2 000, причем исключенными значениями являются 2,4, 6, ... , 2 000. Это означает, что в каждом из рассмотренных случаев 9 (я) обладает соответствующим свойством для всех значений п, начиная с некоторого.
Это утверждение мы будем часто выражать словами: 9 (я) обладает данным свойством для больших, или очень больших, или всех достаточно больших значений п. Таким образом, когда мы говорим, что 9 (я) обладает свойством P (которое обычно будет выражаться некоторым соотношением или неравенством) для больших значений я, то имеем в виду, что можно найти некоторое определенное число я0 такое, что 9 (я) обладает свойством P для всех значений я, больших или равных я0. В примерах, рассмотренных выше, это число я0 может быть взято равным любому числу, большему чем ядг, наибольшему из исключенных значений; естественнее всего положить я0 = ядг-j- 1.
Пределы функций от целочисленного переменного
117
Таким образом, мы можем сказать, что „все большие простые числа нечетны" или что „ ~ меньше чем 0,001 для больших значений п". Читатель должен освоиться с употреблением слова большие в утверждениях такого рода. Слово большой само по себе не имеет в математике, как и в обыденной жизни, абсолютного смысла. Общеизвестно, что числа, рассматриваемые в одной связи как большие, могут в другой связи рассматриваться как малые; 6 голов — это большой счет в футбольном матче, но 6 пробегов в крикетном матче — это небольшой счет; 400 пробегов — это уже большой счет, но доход в 400 фунтов стерлингов в год—небольшой доход*). Конечно, и в математике большой обычно означает достаточно большой, и что является большим для одной цели, может оказаться недостаточно большим для другой.
Мы знаем теперь, что понимают под утверждением „ф (п) обладает свойством P для больших значений п". Утверждениями этого типа мы будем заниматься на протяжении всей настоящей главы.
55. Выражение „п стремится к бесконечности". Существует еще несколько иная точка зрения на рассматриваемый вопрос, которую удобно принять. Допустим, что п принимает последовательно значения 1, 2, 3,... . Слово „последовательно", естественно, вызывает представление о последовательности во времени, и мы можем, если угодно, предположить, что п принимает эти значения в последовательные моменты времени (например, в начале каждой секунды). Тогда с течением времени п становится все большим и большим, и не существует предела его возрастания. Какое бы большое число мы ни задали, наступит момент, когда п станет большим, чем это число.
Удобно иметь более короткую фразу для выражения этого бесконечного возрастания п, и мы будем говорить, что п стремится к бесконечности или п -> со, причем этот последний символ обычно применяется как сокращение слова „бесконечность". Слово „стремится к", так же как и слово „последовательно", вызывает представление об изменении во времени, и иногда бывает удобно представлять себе изменение п совершающимся во времени описанным выше образом. Однако это лишь вопрос удобства, так как изменение п, как правило, ничего общего со временем не имеет.
Читатель не может переоценить важности полного понимания того, что когда мы говорим „п стремится к со", мы имеем в виду только то, что п принимает ряд значений, которые неограниченно возрастают. Не существует числа „бесконечность"; такое равенство как
п = оо
*) Нормальным счетом при игре в крикет может считаться стс-двести, пробегов. (Прим. перев.) ~ ' " "
118
Глава четвертая
само по себе бессмысленно: число я не может быть равно сю, так как „равно со" ничего не означает. До сих пор символ со сам по себе ничего не означал, он имел смысл только в одной фразе „стремится к со", который мы разъяснили выше. Ниже мы покажем, какой смысл следует придавать другим фразам, содержащим символ со, но читатель должен всегда иметь в виду, что
(1) символ со сам по себе ничего не означает, хотя фразы, содержащие его, иногда имеют определенный смысл, и
(2) в каждом случае, когда фраза, содержащая символ со, что-либо означает, это происходит потому, что с помрщью специального определения этой фразе предварительно был придан определенный смысл.
Теперь ясно, что если ер (я) обладает свойством P для больших значений я, или для „п стремящегося к со" в том смысле, который был нами только что разъяснен, то я, в конце концов будет принимать значения, достаточно большие для того, чтобы обеспечить функции со (я) свойство Р. Таким образом, вопрос: „какими свойствами обладает ср(я) для достаточно больших значений я?", можно сформулировать и так: „как ведет себя ер (я), когда я стремится к бесконечности?".
56. Поведение функции от я, когда п стремится к бесконечности. Мы переходим теперь к рассмотрению, в свете замечаний, сделанных в предыдущих пунктах, некоторых предложений, которые постоянно встречаются в высшей математике. Рассмотрим,
например, следующие два предложения: (а) ~ мало для больших
значений п, (b) 1--~ почти равно 1 для больших значений я.
Несмотря на то, что они могут представиться весьма очевидными, в них содержится многое, заслуживающее пристального внимания читателя. Рассмотрим сперва (а) как несколько более простое предложение.
