Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
z — о
z — p
то подставляя вместо z его выражение через Z, мы получаем:
Z —о'
¦г,
где
7*
a — QC г а — рс'
а —ас
100 Глава третья
Если (z1, z2; zs, Zi) = —1, мы имеем два уравнения
zi - Zg , . Za - Z8
am J-- = ±тс-4-ат —--
Z1-Z4 Z8-Z4
Z1 Z3 Z1-Z4
Zg — Z3 Z3-Z4
Четыре точки A1, A2, A3, Л4 лежат на одной окружности, причем между
AA AA
A1 и А8 лежат A1 и A1. Кроме того, ^ 3 Пусть О —середина
A1A1. Уравнение
(zi — Z8)(Z8- Z4) = t
(21 — Z4)(Z2-Z8)
может быть записано в виде
(Z1 + Z2) (Z3 + Z4) = 2 (Z1Z2 -f z3z4), или, что то же самое, в виде
{«i— 2-(^3 +Z4) j-j Z8-і (Z8+ Z4)J- = !-1(?-Z4) |a .
23. Рассмотреть преобразования
_ 1 __ 1 + Z Z~ Z' Z~l — Z
и начертить в плоскости XOY кривые, соответствующие (1) окружностям с центрами в начале, (2) прямым линиям, проходящим через начало.
24. Условием того, что при преобразовании
_aZ+b Z~~cZ + d
окружности х2-\-у2 = 1 соответствует прямая линия в плоскости XOY, является I a | = I с (.
25. Двойные отношения. Двойное отношение (Z1, Z2; z3, Z4) определяется
как
(Z1 — Z1) (Zg — Z4) (?— Zi)(Z2- Z3)'
Если четыре точки лежат на одной прямой, это определение совпадает
с определением, известным из элементарной геометрии. Перестановкой
индексов из Z1, za, Z3, Zi может быть образовано 24 двойных отношения.
Они состоят из шести групп по четыре равных двойных отношения в каждой.
Если одно отношение равно X, то шестью различными двойными отноше-
, . . 1 1 X-I X ниями являются X, 1—X, -г-, -.-—-—,--г. Четыре точки назы-
а і — aaa — і
ваются гармоническими или находящимися в гармоническом отношении, если одно из этих двойных отношений равно — 1. В этом случае шестью
отношениями являются —1, 2, —1, -у, 2, у.
Если одно из двойных отношений является действительным числом, то все шесть отношений действительны, и данные четыре точки лежат на одной окружности. Ибо в этом случае
am tei ~ 2з> (Za ~ z*)
(Z1 — z4) (zs — Z3)
должна иметь одно из трех значений — тс, 0, тс, так что am Z~—— и
Z1 Z4
am ——Z~ должны либо быть равны, либо отличаться на тс (см. пример 19). z2 — z4
Комплексные числа 101
a ? 7
Z1Zi + ^2Z3 ZiZi + Z3Z1 *гг1 + Z1Z2
= 0.
[Для доказательства заметим, что преобразование Z = s^_z эквивалентно инверсии относительно точки zit соединенной с некоторым зеркальным отображением (пример 21). Если zt, z2, Z3 лежат на окружности, проходящей через Zn то соответствующие точки Z1=-, Z2 =-
Z1— Zi Z2—Zi
" лежат на одной прямой. Следовательно (см. пример 12), мы
Zs—Zi
можем найти действительные числа а', ?', 7' так, что а' -f- ?' -j- T' = 0 и
я' H' .»'
= 0,
Z1-Zi Z2—Zi Z3—Zi
и легко показать, что это соотношение эквивалентно приведенному условию.]
29. Доказать следующий аналог теоремы Муавра для действительных чисел: если Cp1, ср2, ср3, ... — последовательность положительных острых углов таких, что
tg 9m+l = tg Vm Sec Tl + sec cpm tg Cp1,
т0 tg cpm+„ = tg cpm sec cp„ + sec cpm tg <p„,
sec cpm+„ = sec cpm sec cp„ + tg cpm tg cp„ и tg ч)т + sec cpm = (tg »1 + sec ft)"1.
[Применить метод математической индукции.]
30. Преобразование z = Zm. В этом случае r=Rm, и 6 и т® отличаются на целочисленное кратное 2тс. Если Z описывает окружность с центром в начале, то z описывает т раз окружность с центром в начале.
Вся плоскость (х, у) соответствует любому из т секторов в плоскости
(X, Y), угол каждого из которых равен Каждой точке в плоскости (х, у) соответствует т точек в плоскости (X, У),
Но это эквивалентно соотношению OA1- OA1= ОА\ = Ъа\. Следовательно, OA1 и OA3 образуют равные углы с A3A1, и OA1 ¦ OA2 = 0А\ = 0А\. Заметим^ что соотношение между парами A1, A2 и A3, A1 симметрично. Следовательно, если О' —середина A1A1, то O1A3 и OVl4 равнонаклонены к A1A2, и 0'А}-0'Аг = 0'А1=0'А1.
26. Если точки A1, A2 заданы уравнением az* -|- 2bz -j- с = 0, а точки A3, A4 — уравнением а'гг -|- 2й'г -|- с' = О, О — середина A3A4 и ос' -|- я'е — — 2bb' = 0, то OA1, OA2 равнонаклонены к A5A4 и OA1- OA8 = ОАІ = Оа\.
(Экз. 1901 г.)
27. Пусть АД, СО —две пересекающиеся прямые на диаграмме Аргана и Я и Q — их середины. Доказать, что если AB является биссектрисой угла CPD и PA2 = PB1= PC • PD, то CD является биссектрисой угла AQB и
ОС» = QD2 = QA • Q5. (Э*з. 1909 г.)
28. Условие того, что четыре точки лежат иа окружности. Достаточным условием является то, что одно, а следовательно, и все двойные отношения действительны (пример 25). Это условие является также и необходимым. Другой формой этого условия является возможность выбора действительных чисел a, ?, ¦y так, что
1 1 1
102 Глава третья
a + 2?t+ft*
авляет коничі
їй
A+2Bt+ Ct2 _A' + 2B't + C't1
где а, ?, т действительны, представляет коническое сечеиие. [Исключить t из соотношений
Х а 4-2? + ¦(f- ' ' ~ a + 2pt + tf*
гд* А+A4 = a, В + ВЧ=Ъ, С+Ci = C]
