Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
14. Общее квадратное уравнение с комплексными коэффициентами
Это уравнение имеет вид
(a + Ai) Z2 + 2(* + Bi)Z + (с +Ci) = O.
Если а и А не равны одновременно нулю, можно разделить уравнение на a+ AL Поэтому можно рассматривать
z* + 2(b + Bi)z + {c+Ci)=0 (1)
как каноническую форму нашего уравнения. Полагая z = x+yi н приравнивая действительные и мнимые части, мы получаем систему двух уравнений для х и у, а именно:
хг— У2 +2(bx — By) + с = 0, 2ху + 2 (by + Bx) + С=0. Если мы положим
x + b = t, y + B = rt, Р — 52 — с = А, 2bB—C = k, эти уравнения принимают вид: S2—»)2 = А, 2Ь\ = k.
Для определения z сложим числители и знаменатели трех равных дробей, предварительно умножив каждый нз них соответственно на
To-H^o "о — То Po — "о ? —« ' T-P' *-ї' Из полученной таким образом новой дроби мы найдем, что _ да Cis А + 6p Cis В + су Cis С z_~ a Cis А+ ? Cis 5+с Cis С 11. Два треугольника с вершинами в точках а, Ь, с и лг, у, z, подобны,
1 1 1
96 Глава третья
Возводя их в квадрат и складывая, находим:
П = ± У ~ (VhJ+~k* — Л).
Знаки мы должны выбрать так, чтобы ?т] имело знак k, т. е. если k положительно, мы должны брать перед корнями одинаковые знаки, а если k отрицательно, — разные.
Условия равенства корней. Корни могут быть равны в том и только в том случае, когда оба фигурирующих выше квадратных корня обращаются в нуль, т. е. когда Л = 0, A = O, или, что то же самое, когда с = й2—A2, С=2ЬВ. Эти условия эквивалентны единственному условию с + Ci= (b + Bif-, которое выражает тот факт, что левая часть уравнения (1) является точным квадратом.
Условие существования действительного корня. Если
Xі + 2 (Ь + Bi) X + (с + Q') = 0,
где X — действительное число, то Xі + 2bx + с = 0, 2Bx -(-C = O. Исключая х, мы находим искомое условие в виде
С2 — 4ЬВС -4- 4с52 = 0.
Условие существования чисто мнимого корня. Как легко найти, оно имеет вид
С2 — 4WJ С — 4й2с = 0.
Условие существования пары сопряженных комплексных корней. Так как сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел действительны, то 6-{-Bi и c + Ct должны быть оба действительны, т. е. должно быть 5 = 0 и С = 0. Таким образом, уравнение (1) может иметь пару сопряженных комплексных корней только в том случае, когда его коэффициенты действительны. Читателю следует проверить это заключение рассмотрением явных выражений для корней. Если, кроме того, Ьг^с, то тогда корни будут также действительными.Таким образом, для пары сопряженных корней должно быть 5 = 0, С = 0, й2 < е.
15. Кубическое уравнение. Рассмотрим кубическое уравнение
za + 3Wz+G=O,
где G и H — комплексные числа, причем известно, что уравнение имеет (а) действительный корень, (Ь) чисто мнимый корень, (с) пару сопряженных корней. Полагая /Z = X +[ii, G = p + «, мы находим следующие условия.
(a) Условия существования действительного корня. Если ц. не равно
нулю, то действительным корнем является—и а3 + 27XjA2J — 27[і3р = 0.
u[a
С другой стороны, если [j. = 0, то должно быть также и а==0, так что коэффициенты уравнения действительны. В этом случае все три корня могут быть действительными.
(b) Условия существования чисто мнимого корня. Если jj. не равно
нулю, то чисто мнимым корнем является -~ и р3 — 27X[i2p — 27[i3J = O. Если
g[a
ja = 0, то должно быть также р = 0, и если yi есть корень, то у определяется из уравнения у3 — ЗХу— а = 0, которое имеет действительные коэффициенты. В этом случае все три корня могут быть чисто мнимыми.
(c) Условия существования пары сопряженных комплексных корней. Пусть эти корни будут x-{-yi и X—yi. Тогда, так как сумма всех трех корней равна нулю, третий корень должен быть равен — 2х. Из соотношений
Комплексные числа
97
между коэффициентами и корнями уравнения мы выводим, что уг — Зх2 = ЗН, 2х(хг 4-^) = 0.
Следовательно G и Я должны быть оба действительны.
В каждом случае мы можем либо найти корень (причем тогда уравнение может быть сведено к квадратному делением на известный множитель), либо мы можем свести решение уравнения к решению кубического уравнения с действительными коэффициентами.
16. Пусть кубическое уравнение х1-\-u1X*-{• atx-\-at = 0, где O1 = = А14-А1^, имеет пару сопряженных комплексных корней. Доказать,
что третий корень равен-
, если AgИсследовать случай Ag = O.
17. Доказать, что если z3 4- 3Hz -\- G =0 имеет два сопряженных комплексных корня, то уравнение
8а34-6аЯ —G = O
имеет один действительный корень а, являющийся действительной частью комплексных корней исходного уравнения, а также, что а одного знака с G.
18. Уравнение любого порядка с комплексными коэффициентами, вообще говоря, не имеет ни действительных корней, ни пар сопряженных комплексных корней. Сколько условий должно удовлетворяться коэффициентами для того, чтобы уравнение имело (а) действительный корень, (Ь) пару сопряженных комплексных корней?
19. Пучок окружностей. Пусть a, b, z являются аргументами точек 'А, В, 1P (фиг. 23). Тогда
