Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
мы можем выбрать R% так, что \ Z\ превосходит у | а0 \ R" f а, значит, заведомо и т (Ri), во всех точках на и вне S (R%). Тогда Z0 (R) лежит внутри S(Ri), а, значит, заведомо и внутри S(R) дтя R ^R.. В действительности т(R) и Z0(R), начиная с некоторого R, не зависят от R.
32»
500 Приложение II
где Ai, Ац,..., An не зависят от ?. Пусть Aj1 будет первым из этих коэффициентов, который отличен от нуля, и положим
/(Z0) = те*, Ak = aeix, C = ре* Мы можем предположить, что р настолько мало, что ар*-</и и
ІАц-.С* + 1 + ... + ЛпС»|<іар*.
Тогда
/ (2) = те* + ар* el (a + *?> + ?, Где I Я |< у ?pfe. выберем ? так, что
a+ A9= р. + -; (2)
тогда
/(2) = е<> {m-epfc+ge-«*}, I /(2) і = [ zn — apfc -f g*"-'1* I s? m — ар* + (g I < m — Y а?ь < m, что противоречит определению т. Таким образом, /и должно быть равно 0,
т. е. /(2,) = 0.
Когда мы выбираем tp так, чтобы выполнялось (2), мы фактически решаем уравнение
С* = —pV(li~o).
Другими словами, мы используем тот факт, что уравнение специального вида
2" — с = 0 (3)
всегда имеет корень, т. е. что „основная теорема" справедлива для двучленных уравнений. Мы уже зиаем, конечно, что уравнение (3) имеет в действительности п корней (см. п. 48 и наши дальнейшие строгие рассмотрения тригонометрических и показательной функций).
С логической точки зрения интересно, однако, найти доказательство теоремы, не зависящее от теории тригонометрических функций. Наше рассуждение дает такое доказательство, если известно, что теорема верна для уравнений вида (3), и Литтльвуд (J. Е. Littiewood, Journal of the London Mathematical Society, vol. 16) показал, как можно закончить доказательство, применяя „метод нижней грани" к функции
f (z) = zn-с, (4)
где с = a + ib ф. 0.
Мы знаем (см. пример XXI. 14), что любое квадратное уравнение и, в частности, уравнение z*=c, имеет корни. Эти корни равны
± Yk ty~a*~T& + a)±i Yk (V+*~P - в).
причем знаки следует брать одинаковыми, если b > 0, и разными, если * < 0. Следовательно, если и = TN, где N—нечетное число, то мы можем, решив V квадратных уравнений, свести решение уравнения (3) к решению уравнения zN — d = 0. Поэтому мы можем предположить, что п нечетно.
Теперь мы рассуждаем как выше, но применительно к специальной функции (4). Имеются две возможности: либо z0rfb0, либо 20 = 0. Если г0ф0, то
/(20 + С) = /(?) -+ Я20"-' С + . .. =/(20) + A1H+
Приложение II
501
где Ахф0, так что ? = 1. Окончание доказательства тогда зависит только от решения линейного- уравнения. Если же Z0 = O, то
/(Z) = Z(C) = C-C
Если мы придадим С четыре значения ± р, :fc і?, где р мало, то (так как п нечетно) / (С) принимает четыре значения
— с ± о™, — с± io".
Другими словами, если P является точкой /(Z0) или —с, на диаграмме Аргана, то четыре точки, представляющие /(z) в этих четырех случаях, получаются из P небольшими смещениями в четырех возможных направлениях, параллельных осям. По крайней Мере одно из них переносит P ближе к началу1), и если Z имеет соответствующее значение, то \f{z) | < |/(z0) |. Таким образом, мы получаем противоречие, требуемое для завершения доказательства. Основные идеи доказательства могут быть найдены у Коши (Cauchy, Exercices de mathematiques, t. 4, стр. 65—128), хотя и в менее четкой форме. Это доказательство приведено также в гл. II книги Todhun-ter, Theory of equations.
Из большого числа известных доказательств „основной теоремы" наиболее удовлетворительным с алгебраической точки зрения является, вероятно, так называемое „второе доказательство Гаусса" (в одной из его упрощенных форм, принадлежащих позднейшим авторам). См. Gauss, Werke, vol. III, стр. 33—56 или Perron, Algebra, vol. I, стр. 258 — 266. Эти доказательства, однако, значительно длиннее.
ПРИМЕРЫ К ПРИЛОЖЕНИЮ II
1. Показать, что число корней уравнения /(z) = 0, лежащих внутри замкнутого контура, не проходящего ни через один корень, равно изменению
когда z описывает контур.
2. Показать, что если R—любое число, удовлетворяющее условию
—Н5 г• • •i—шг ~- '>
то все корни уравнения
PJ1
Z11^a1Z"'1+ ... + anz=0
по модулю меньше R. В частности, показать, что нее корни уравнения Z5 —I3z — 7 = 0 по модулю меньше 2=. 3. Определить число корней уравнения
z"P + az + b = 0,
где а и b действительны и р нечетно, имеющих положительные и отрицательные действительные части. Показать, что если а > 0, Ь>0, то числа эти равны р — 1 и р + 1; если а<0, #>0, то они равны р + 1 и р — 1; а если #<0, то они равны pup. Рассмотреть частные случаи а = 0 или й = 0. Проверить результаты для р = \.
[Проследить изменение аш (z2P + az + b), когда z описывает контур, образованный большим полукругом радиуса R с центром в начале и его диаметром, лежащим на мнимой оси.]
1J Оставляя ординату неизменной и уменьшая абсолютную величину абсциссы, или. наоборот.
502
Приложение II
4. Рассмотреть аналогично уравнения
z*4 + az + b = 0, г4?"1 + az + Ь = 0, г4?+1 + аг + й = 0.
5. Показать, что если аир действительны, то числа корней уравнения
