Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
') В этом месте нам нужно предположение о том, что Г не проходит через начало.
32 Г. Харди
№
Приложение 11
определенное значение am Z (скажем, значение, для которого — т. < am Z ^ г.), соответствующее исходному значению Z, и проследим его изменение вдоль Г. Таким образом, мы определили значение am Z (которое мы и будем обозначать через amZ), соответствующее каждому Z на Г.
Когда Z возвращается к исходному положению, am Z может также возвратиться к исходному значению илн может отличаться от него на кратное 2~. Так, если Г не содержит начало, как путь (а) на фиг. В, то am Z остается без изменений; но если Г один раз обходит начало в положительном направлении, как путь (Ь), то am Z увеличивается на 2- Обозначим изменение am Z, когда г описывает 7, через Д (у).
Допустим сначала, что т является квадратом S со стороной 2R, состоящим нз отрезков прямых X = ±R,у;= ±R. Тогда \z\^sR на S. Мы можем выбрать R настолько большим, что
4- 4- ' "1 <- -L
и тогда
а,
-^(1 + ^+...+^)=^(1+.),
где j ifj 1 < — для всех точек S. Амплитуда 1 -f т(, очевидно, останется без
изменений, когда z опишет S, а амплитуда zn увеличится на 2пг.. Следовательно, амплитуда Z увеличится на 2итг, так что \(S) = 2n~. Все, что нам в действительности нужно зиать — это то, что A(S)^O.
Разобьем квадрат S осями координат на четыре равных квадрата S^'\ S<*>, S<'>, S<*> со стороной R. Мы можем взять любой из них в качестве 7 и предположить опять, что соответствующий путь Г не проходит через начало координат. Тогда
Д (S) = Д (S«) + Д (S«) + Д (SW) + Д (S«). (1)
В самом деле, когда точка 2 описывает по очереди каждый из квадратов S«,... (см. фиг. Л), то она один раз опишет каждую сторону S; что же касается сторон / меньших квадратов, которые не являются частями сторон S, то она опишет каждую такую сторону I два раза в разных направлениях, и слагаемые в сумме (1), соответствующие таким сторонам, взаимно уничтожатся. Так как Д(І>):?0, то по крайней мере одно из A(S«),... отлично от нуля. Первый из таких квадратов обозначим через S1. Тогда A(S1)^zO.
Разобьем теперь S1 на четыре равных квадрата прямыми, параллельными осям, и повторим наше рассуждение, в результате чего мы найдем
квадрат S8 со стороной у R1 для которого A(S8)^O. Продолжая этот
процесс, мы получим последовательность квадратов S, S1, S»,..., Sn,... со
сторонами 2R, R, ~R,..., 2 — " + 1 R,..., из которых каждый лежит внутри
предыдущего, таких, что A(Sn)ZtO для каждого я.
Если юго-западной и северо-восточной вершинами Sn являются точки (Xn, уп) и (х'п, у'п), так что
Sn-Xn = yn-yn=-2-n+'R,
то (хп) и (уп) являются возрастающими последовательностями, а (х'п)н(у'п) — убывающими; Xn и х'п стремятся к общему пределу х0, а уп и у'п стремятся к общему пределу у0. Точка (лг0, у0) или P лежит вчугри или на границе
Приложение H
499
каждого Sn1). Если дано любое положительное число 5, то мы можем выбрать я так, что расстояние любой точки Sn от точки P будет меньше 8. Следовательно, P обладает тем свойством, что как бы мало ни было 8, найдется такой квадрат Sn, содержащий Р, что все его точки находятся от P на расстоянии, меньшем 8, и что для него A(Sn)^tO. Мы можем теперь доказать, что
/0?)=/С*о + (Уо) = 0.
В самом деле, допустим, что f(z0) = c, где |е|=р>0. Так как /(дг0 + iyn) является непрерывной функцией от X0 и Уо, то мы можем выбрать и настолько большим, что
1/(Z)-Z(Z0)KyP
во всех точках Sn. Тогда
Z=f(z) = c 4- в = с(1 + У]),
где |о|<у р, Il [<у во всех точках Sn. Отсюда следует, что amZ не
меняется когда z описывает Sn, и мы приходим к противоречию. Следовательно, / (г0) = 0s).
(В) Наше второе доказательство использует обобщения результатов гш. 103 и сл. на функции нескольких переменных.
Как и в п. 103, мы определяем верхнюю и нижнюю грани функции F (х,у) в области D, ограниченной квадратом типа S. Мы можем доказать (в основном так же, как в последней части п. 105% что непрерывная функция достигает своих точных верхней и нижней граней во всякой такой области D.
Пусть
F(x,y) = \f(x + iy)\ = \f(z)\ = \Z\.
Тогда F(x, у) непрерывна и неотрицательна; таким образом, она имеет неотрицательную точную нижнюю грань т в D, которая достигается в некоторой точке Z0 из D. Легко видеть, что если R достаточно велико, то Z0 лежит внутри JD').
Допустим, что /и>0. Если мы положим Z= Z0 4- ? и разчожим /(г) по степеням С, то получим:
/(*) =/0?) + АЛ + Л8?* + ... + А™,
*) В предшествующих рассуждениях пока ничто не указывало иа то, что эта точка не может лежать на границе S, хотя ниже мы увидим, что это действительно не может иметь места.
8) Таким образом, в частности, Z0 не может лежать на S, так как Z велико во всех точках S.
3) Первое доказательство п. 105 использует сечение Дедекинда и не имеет аналога в двух измерениях.
4) В самом деле, допустим (выражая явно зависимость S, D, т0 н Z0 от R), что m0(R) и Z0(R) соответствуют S(R) и D(R). Тогда Z0(R) могло бы (насколько это видно из определения) лежать на S(R). Но если Ri дано, то
