Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Отдельным аксиомам могут удовлетворять самые разнообразные вещи. Так, напр., аксиома І і будет удовлетворена, если „течками" мы будем считать целые числа, а прямою, определяемою двумя точками (числами 2h и j<2),—наибольшее целое число, заключающееся в половине произведения двух
чисел із, и//., т.е. е(р,р^. Двум аксиомам T і и I 2 удовлетворяют не только точки и прямые элементарной геометрии, но также точки и круги этой геометрии, ортогональные к одной определенной прямой.
XXVI
Такая постановка вопроса, при которой аксиомы являются условными соглашениями, связывающими между собою „вещи", и эти вещи, т.-е. первоначальные понятия, определяются исключительно аксиомами, резко отличает систему Гильберта от других систем, первоначальные понятия которых имеют эмпирическое происхождение. Система Гильберта должна быть рассматриваема как часть общего учения об отношениях. Новая постановка вопроса приобретает вместе с тем большое значение, т. к. дает новый метод для решения вопроса о совместности и независимости аксиом геометрии. Этот метод заключается в пользовании системами вещей, взятыми из арифметики. Простой и особенно-интересный по своей простоте пример этого метода представляет доказательство независимости аксиомы I 2 от аксиом І і, которое дает Гильберт в своих лекциях. Для этого доказательства достаточно только рассматривать вышеупомянутую систему, в которой „точки" суть целые числа
стема, очевидно, удовлетворяет аксиоме І і и не удовлетворяет аксиоме I 2 (для этого достаточно взять Js1 = I, #а=2,..з=3). Во всем сочинении Гильберта этот метод сведения вопросов геометрии на вопросы учения о числах играет весьма большую роль и имеет одинаково важное значение и для учения о числах и для геометрии.
В течение двух десятилетий, протекших со времени появления „Оснований геометрии", с помощью методов, данных впервые в этом сочинении, решены многие важные вопросы. Недостаток места не позволяет нам остановиться на связанной с этими вопросами литературе *)-Упомянем, напр., подробное рассмотрение вопроса об отношении аксиомы Архимеда к теории параллельных линий (Ден, Шур), исследования Дена о равенстве многогранников, работы Валена, Шура, Веблена, Гентингтона, Мура и др. по вопросу об аксиомах геометрии вообще.
Но значение „Основ, геометрии" не ограничивается одною» геометриею.
*) Некоторые указания на литературу даны в примечаниях, составленных О. А. Вольбергом и помещенных в конце книги.
PuP2, „прямые"—целые числа вида
XXVII
Мы говорили, что наиболее важный для аксиоматического построения геометрии вопрос об отсутствии противоречия между аксиомами Гильбертом сведен на вопрос об отсутствии противоречия в аксиомах арифметики. В докладе, прочитанном на втором Международном Парижском Конгрессе 19ио г. под заглавием „Математические проблемы", Гильберт поставил эту задачу об аксиомах арифметики в число важнейших задач, на которые должно быть обращено внимание математиков. Позже эта задача была обобщена в задачу об отсутствии противоречия в системе аксиом анализа, т. е. учения о числах в более общем смысле этого слова *). Эта задача представляет новые трудности так как те заключения, которые применяются в теории вещественных чисел и функций от вещественной переменной, далеко не имеют того характера непосредственной верности, которая присуща заключениям теории целых чисел.
Тем не менее Гильберт приступил к решению этой задачи. Основные идеи, которые руководили им, были изложены им на третьем Международном Конгрессе в Гей-дельберге (1904 г.). Этот Гейдельбергский доклад под заглавием „об основаниях Логики и Арифметики" помещен в приложениях к немецким изданиям „Оснований геометрии", начиная с третьего. Но понимание этого доклада представляет большие трудности **), и в последнее время (в 1921 г.) в ряде лекций, прочитанных в Гамбурге, Гильберт придал своим идеям более понятную форму ***).
Ход мыслей, который приводит Гильберта к обоснованию арифметики и анализа, состоит в следующем: методические трудности анализа происходят от той роли, которую в нем играют непрерывность и бесконечность. Доказательство отсутствия противоречия было бы неодолимо, если бы мы
*) Аксиомы учения о числах даны Гильбертом в начале третьей главы „Оснований". См. также его доклад: „Понятие о числе" (русский перевод в Казапском сборнике: „Об основаниях арифметики").
**) По этой причине мы отказались от мысли дать в нашем издании перевод этого доклада.
***) Мы не имели возможности познакомиться с этими лекциями и н дальнейшем пользуемся изложением, данным Вернайсом н номере журнала „Naturwissenschaften", посвященном Гильберту по поводу празднования шестидесятилетия дня его рождения (22 января 1922 г.)
XXVIII
поставили себе целью показать, что система вещей, введенная анализом—которую можно определить как систему всех конечных или бесконечных множеств целых чисел—логически мыслима. Вместо этого Гильберт заменяет утверждение об отсутствии противоречий утверждением, что невозможно из аксиом анализа и с помощью его методов рассуждения и доказательства вывести отношение 1 ф Л (единица не равна единице). „Никаким конечным применением законов числа нельзя вывести из утверждения А противоположное заключение: не А". Таким образом дело идет не о возмояшости непрерывного, бесконечного многообразия, обладающего известными свойствами, но о невозможности некоторого математического доказательства.
