Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Таковы были главнейшие работы по вопросу об основаниях геометрии, появившиеся в свет до 1899 г., когда Гильберт в небольшом сочинении дал свою систему аксиом, свое построение теории пропорций и теории измерения и выяснил многие другие основные вопросы геометрии.
Давид Гильберт родился 22 января 1862 г. в Кенигсберге. Подобно большинству других немецких ученых, он не ограничился курсом одного Кенигсбергского зтниверси-' тета, но слушал также лекции Фукса в Гейдельберге, Клейна в Лейпциге, Эрмита в Париже. С 1886 до 1895 г. он занимал кафедру в Кенигсберге одновременно с Германом Мин-ковским, с которым его связывала тесная дружба. С 1895 г-он профессор Геттингенского университета. Его первые работы относятся к высшей алгебре (теория инвариантов; системы форм) и высшей арифметике (теория алгебраических тел). Резудьтатом работ по высшей арифметике явился, между прочим, классический „Отчет о теории алгебраических тел" (1897), имевший большое значение для развития современной теории чисел.
Гаусс назвал арифметику царицею математики, как бы противопоставляя ее анализу, основанному на понятии о непрерывности, почерпнутому из интуиции. Кронекер, увлеченный успехами своих работ в теории чисел, связавший с теориею чисел высшую алгебру, развивал с оживлением идею Гаусса, настаивая на необходимости „арифметизации" всей математики, т.-е. на сведении всех математических понятий к целому числу и отказывая до тех пор анализу той строгости выводов, которая присуща только арифметике. В дружеской переписке Вейерштрасса с его русскою
*) Желающие более подробно ознакомиться с идеями Паша, Пеано, Веропезе и др. могут обратиться к сочинению п роф. В. Ф. Кагана „Основания геометрия" т. II (Одесса, 1907).
XXJV
ученицею С В. Ковалевского находится письмо (1885 г.), в котором творец современной теории функций горячо жалуется на Кронекера, отрицательно относящегося к теориям иррационального числа, мечтающего о том, „что скоро арифметика покажет настоящие точные пути анализу и убедит в неверности всех тех умозаключений, с которыми работает современный, так называемый, анализ". Этот спор [между выдающимися берлинскими математиками не мог не интересовать и талантливого молодого ученого. Гильберт, несмотря на свои выдающиеся успехи в области высшей арифметики, не встал на сторону Кронекера. Он решил, что и другие области математики могут и должны быть построены столь же строго, как высшая арифметика, которая, исходя из понятия о целом числе и основных аксиом, строит дедуктивным путем грандиозное здание теории алгебраических числовых тел. Естественно было прежде всего приложить это убеждение к геометрии, которая так долго считалась неподражаемым образцом дедуктивной науки, но в которой критика XIX века открыла так много „пятен".
Ближайшим поводом для изучения оснований геометрии Послужила, с одпой стороны, работа Винера (1891), показавшего в статье „Grundlagen und Aufbau der Geometrie" *), "что все теоремы плоской проективной геометрии могут быть доказаны с помощью' элементарных плоскостных аксиом сопряжения и порядка, если вместе с тем считать доказанными теоремы Дезарга и Паскаля. Так как, с другой стороны, теорема Дезарга есть следствие всех (плоскостных и пространственных) аксиом сопряжения и порядка, то доклад Винера возбуждал особый интерес к теореме Паскаля.
С другой стороны, внимание.Гильберта не могло не быть привлечено к основным вопросам геометрии теми замечательными работами его друга Минковского, которые показали, какое значение для теории целых чисел имеет систематическое приложение геометрии. Решение вопросов, поставленных Эрмитом **), было сведено Минковским к теории выпуклых тел, т.е. тел—имеющих то свойство, что отре-
*) Jahresbericht der D. Math. Vereinigung Bd. I. Berlin, 1892. **) О них смотри мое „Целое число", стр. 218.
XXV
зок, соединяющий две точки тела, всеми своими точками ^принадлежит телу; теория же этих тел была построена Минковским па основе особой геометрии, сохраняющей аксиому о параллельности, но заменяющей аксиому о конгруэнтности треугольников аксиомою, по которой сумма двух •сторон треугольника больше третьей. Этой геометрии Мин-ковского и был посвящен первый геометрический мемуар Гильберта (1894).
В 1899 г. в „Festschrift", изданной к торжеству открытия памятника Гауссу и Веберу в Геттингене, появилось то сочинение Гильберта, которое делается теперь доступным для всех русских читателей. После отзыва, данного А. Пуанкаре • о работе Гильберта,, и приложенного к нашему изданию, делается излишним прибавлять что-либо к оценке, сделанной знаменитым французским математиком-философом; во мы считаем нужным в этом предисловии остановить ^внимание читателя на той постановке вопроса, которую Гильберт, в отличие от предшественников, придал задаче обоснования Евклидовой геометрии. Эта постановка и дала ¦ему возможность перейти от аксиом геометрии к аксиомам других наук и к общему вопросу об аксиоматическом мышлении.
Основные понятия, „вещи", которым Гильберт придает название точек, прямых, плоскостей, не суть какие-либо специально определенные вещи и тем менее те геометрические образы, которые мы соединяем с этими названиями. ¦Они определяются исключительно аксиомами, устанавливающими отношения между ними и производными из них понятиями. Только совокупность всех девятнадцати аксиом? определяет геометрические образы Евклидовой геометрии и позволяет вместе с тем построить геометрию Декарта.
