Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Далее имеют место следующие теоремы:
Теорема 25. Если два многоугольника P1 и Р., равнососта-влены с третьим многоугольником Р., то они равносоставлены между собою. Если два многоугольника равновелики с третьим, то они равновелики между собою.
Рассматривая одновременно эти разложения P3, мы увидим, что вообще каждый треугольник одного разложения разлагается отрезками, принадлежащими второму разложению^ на многоугольники. Мы прибавляем затем еще столько отрезков, чтобы каждый из этих
Доказательство. По предположению как для P1, так и для P1 можно дать такое разложение на треугольники (черт. 31), что каждому из этих двух разложений в отдельности отвечает разложение многоугольника P6 на конгруэнтные треугольники.
52
Глава IV. Учение о площадях в плоскости.
многоугольников снова разложился на треугольники, и производим затем два соответствующие разложения на треугольники в P1 и в P2, тогда, очевидно, оба многоугольника P1 и Р., разлагаются на равное число попарно взаимно конгруэнтных треугольников и являются, таким образом, согласно пояснению, взаимно равносоставленными.
Доказательство второго положения теоремы 25 получается теперь без труда.
Обычным образом определяем понятия: прямоугольник, основание и высота параллелограмма, основание и высота треугольника.
§ 19.
Параллелограммы и треугольники с равными основаниями
и высотами.
Известное доказательство Евклида, иллюстрируемое данными ч ертежами (черт. 32), дает теорему:
Черт. 32.
Теорема 26. Два параллелограмма с равными основаниями и высотами взаимно равновелики.
Далее имеет место известное положение:
Теорема 27. Каждый треугольник А ВС всегда равносоставлен с некоторым параллелограммом равного с ним основания и половинной высоты.
Доказательство. Если мы разделим пополам (черт. 33) AC в точке D и ВС в точке E и затем продолжим DE на равный ему отрезок до точки F, то треугольники DEC и FBE будут взаимно конгруэнтны, и, следовательно, треугольник ABC и параллелограмм ABFD будут взаимно равносоставлены.
§ 19. Параллелограммы и треугольники. 53
Из теорем 26 и 27 следует, с помощью теоремы 26, непосредственно: 1 ,
Теорема 28. Два треугольника с равными основаниями и высотами— С
равновелики.
Как известно, легко показать, что два треугольника с равными основаниями и высотами всегда также и равносоставлены. Заметим однако, что это доказательство невозможно без пользования аксгюмой Архимеда: действительно, в нашей не-архимедовой геометрии (ср. гл. II § 12) можно без труда указать два
такие треугольника, которые имеют равные основания и высоты и •следовательно по теореме 27, соответственно равновелики, но, однако, не равносоставлены. Примером могут служить два треугольника ABC и ABD с общим основанием AB=I и с равными высотами 1, если вершина С первого треугольника расположена вертикально над точкою А, а во втором треугольнике основание F высоты, опущенной из вершины D, расположено так, что AF= f. %
Мы упомянем еще легко доказываемую теорему: Теорема 29. Для произвольного треугольника, и следовательно также для произвольного многоугольника, всегда можно построить прямоугольный треугольник, который имеет один катет I и равновелик соответственно этому произвольному треугольнику или многоугольнику.
Остальные теоремы элементарной геометрии о равновеликое™ многоугольников, в частности теорема Пифагора, также легко выводятся из приведенных теорем. Но при дальнейшем проведении теории площадей мы встречаем, однако, одну существенную трудность. А именно, наши предыдущие исследования оставляют нерешенным вопрос, не» равновелики ли между собою все многоугольники. В этом случае все приведенные теоремы ничего бы не выражали и не имели бы никакого значения. С этим связан вопрос, сливаются ли непременно два равновеликих прямоугольника, с одной
54
Глава IV. Учение о площадях в плоскости.
общей стороной, также н другими сторонами, т. е. определяется ли прямоугольник однозначно одною стороной и величиною площади?
Для ответа на поставленные вопросы, как показывает ближайшее рассмотрение, необходима теорема, обратная теореме 28, которая читается следующим образом:
Теорема 30. Если два равновеликих треугольника имеют равные основания, то они имеют и равные высоты.
Эта основная теорема 30 значится в первой книге „Начал" Евклида как теорема 39-я; при ее доказательстве Евклид основывается однако на общем положении учения о величинах: „Kai го o'Kov TOv цёоорд (xeilov iovlv"—целое больше части—прием, который сводится к введению новой геометрической аксиомы о пло-' шадях 3).
Теорема 30 и вместе с тем учение о площадях могут быть однако обоснованы без такой новой аксиомы, тем путем, который мы здесь наметили, т. е. исключительно с помощью плоскостных аксиом и не пользуясь аксиомой Архимеда. Чтобы в этом убедиться необхо дим о ввести понятие о мере площади (Inhaltsmass).
§ 20.
Мера площади для треугольников и многоугольников.
Пояснение. Если в треугольнике ЛВС (черт. ^34)"со сторонами а, Ъ, с проведем две высоты Л„ = AB, Ji6 = BE, то из подобия треугольников ВСЕ и АСЕ по теореме 23 вытекает пропорция
