Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Если точка D' совпадает с одною из точек А', В', С, то необходимо изменение этого приема, которое однако легко усмотреть*).
*) Интересно также приложение теоремы об общей точке пересечения высот треугольника к обоснованию теоремы Паскаля и соответственно к учению о пропорциях: сравни на этот счет F. Schur, Math. Ann. Bd. 57 и J. Mo 11 er up, „Studier over den plane geometris aksiomer', Kopenhagen, 1903.
40
Глава III. Учение о пропорциях.
§ 15.
-я-
-с - et - ь
Черт. 22.
Исчисление отрезков, основанное на теореме Паскаля.
Доказанная в предыдущем параграфе теорема Паскаля позволяет нам ввести в геометрию исчисление отрезков, при котором остаются без изменения все правила счета, имеющие место для вещественных чисел.
Вместо слова „конгруэнтный" и знака — мы будем употреблять в исчислении отрезков слово „равный" и знак =.
Если А, В, С суть три точки * прямой, и Il лежит между А
_> и С, то отрезок с = AC называем
суммою обоих отрезков a = AB и Ь = ВС (черт. 22) и полагаем
с = а~\-Ь. *
Отрезки а и Ь называются меньшими чем с, в символах:
а < с, Л < с,
а отрезок с называется большим чем а и Ь, в символах:
г > а, г > Ь.
Из линейных аксиом конгруэнтности III і—3 легко выводим, что для сложения отрезков, определенных таким образом, имеет место ассоциативный закон
в + С' + 0=(в + Ь)-Г-с, так же, как коммутативный закон
аА-Ъ — ЪА-а.
Чтобы определить геометрически произведение отрезка а на отрезок Ь, воспользуемся следую- ш I щим построением (черт. 23): ^ избираем прежде всего некоторый произвольный отрезок, остающийся неизменным в течение всего исследования, и обозначаем его через 1. Откладываем теперь на одной
стороне прямого угла от вер- Черт. 23.
§ 15 Исчисление отрезков, основанное на теореме Паскаля.
41
шины О отрезок 1 и на ней же от вершины О отрезок Ь; затем на другой стороне откладываем отрезок а. Соединяем конечные точки отрезков 1 и а прямою и проводим через конечную точку отрезка Ь параллельную к этой прямой; отрезок с, отсеченный таким образом на другой стороне, мы называем произведением отрезка а на отрезок Ь и обозначаем его так
с = ab.
Прежде всего докажем, что для определенного таким образом умножения отрезков имеет место коммутативный закон
ah =¦ ha.
С этой целью строим прежде всего вышеуказанным способом отрезок ab (черт. 24). Далее откладываем на первой стороне прямого угла отрезок и и на второй стороне отрезок /», соединяем конечную точку отрезка 1 с конечной точкой отрезка Ь на другой стороне прямой линией и проводим параллельную к этой прямой через конечную точку а на первой стороне: эта параллельная отсекает на второй стороне отрезок Ьа; и этот отрезок Ьа, вследствие параллельности вспомогательных пунктирных линий, по теореме Паскаля, совпадает, как видно из чертежа, с отрезком ab. И обратно, как сразу видно, из допущения коммутативного закона в нашем исчислении отрезков вытекает частный случай (ст. 37) теоремы Паскаля.
Для того, чтобы доказать для нашего умножения отрезков ассоциативный закон
a (he) = (ah) с
откладываем на одной стороне прямого угла от вершины О отрезки 1 и b (черт. 25) и на второй стороне, также от О, отрезки о и с. Затем строим отрезки J = ah и е = cb и откладываем эти отрезки d и е на первой стороне от точки О. Если далее мы построим отрезки ас и cd,
42
Глава III. Учение о пропорциях.
то, на основании теоремы Паскаля, как видно из чертежа, конечные точки этих отрезков совпадают, т. е.
ас = cd или а (cb) = с (ab),
и, примьняя коммутативный закон, находим
а (Ьс) = (ab) с*).
Как видно, в предыдущем при доказательстве как коммутативного, так и ассоциативного закона мы пользовались исключительно тем частным случаем теоремы Паскаля, доказательство которого получается на стр. 37—38 (§" 14; особенно просто однократным применением теоремы о четыреугольни^е, вписанном в окружность.
Сопоставляя вышеприведенные соображения, мы п р и X о-дим к следующему обоснованию законов умножения в исчислении отрезков, которое представляется мне самым простым из всех доселе известных способов такого обоснования:
*) Сравни при этом и методы для обоснования учения о пропорциях, которые были недавно даны А. Kneser'oM [Archiv fur Math, und Phys. R III, Bd. 2] и J. MolIerup'oM [Math. Ann., Bd. 56, а также .Studier over den plane geometris aksiomer", Kopenhagen, 1903). F. Schur I.Zur Proportionenlehre", Math. Ann., Bd. 57] замечает, что уже Kupffer |Sitzungs-ber. der Naturforschergesellschaft zu Dorpat, 1893] правильно доказал коммутативный закон умножения. Однако дальнейшее обоснование учения о пропорциях, данное Kupffer'ом, является недостаточным.
§ 15. Исчисление отрезков, основанное на теореме Паскаля.
43
На одной стороне прямого угла отложим от вершины О отрезки
26) и, сверх того, на другой
a = OA и OB (черт, стороне отрезок-единицу 1 = ОС. Окружность, проходящая через A, H1 С, пересечет вторую сторону еще в точке I). Точку D легко получить без применения циркуля, только на основании аксиом конгруэнтности, опуская перпендикуляр из центра круга на прямую ОС и находя точку симметричную точке С по отношению к этому перпендикуляру. В виду равенства ОСА и ^ OED, по определению произведения двух отрезков (стр. 41),
