Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Легко проверить, что основная функция ср0(х) может быть представлена как производная от некоторой основной функции тогда и только тогда, когда выполняется условие
со
J ср0 (х) dx = 0. (3)
—со
Действительно, если ср0 (х) = ср^ (х), то
оо
ср0 (х) dx = cpt (х) =0;
j —m
60 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [6
Отсюда видно, что если задать значение искомого функционала у на основной функции <?i(x), то значение его на любой функции <р(лг) будет однозначно определено:
со
(У. ?) = (У. <Pi) • J* 9 О) dx. (4)
— со
Пусть, например, (у, ср1) = С1 — произвольное фиксированное число. Тогда равенство (4) дает
со оо
(у, «р)=С1 f<?(x)dx = J* C1cp(x)dx,
—со —со
т. е. обобщенная функция у есть постоянная Си что и утверждалось. Мы видим, что дифференциальное уравнение (1) не имеет иных решений в классе обобщенных функций, кроме классических.
Пример. Покажем, что на прямой обобщенная функция /, инвариантная относительно сдвигов, сводится к постоянной. Мы имеем в этом случае
/(Х+Дх)—/(х) = 0,
откуда '
/'(¦*) = lim /(¦*+Ах)-/(¦*)
Даз->0 Дх
по доказанному,/(х) = const, что и требуется.
Можно показать, что и любая однородная система уравнений вида
-37 = ОцЛ4- • • • -\~а1тут,
dih = атхУ14- • • • -4- а,->
(5)
где ап, . . ., атт — бесконечно дифференцируемые функции от х, также не имеет иных решений (уи у2, .... ут) в обобщенных функциях, кроме классических решений. Аналогично обстоит дело для одного уравнения высшего порядка
y»)+aiWyn-D + .. . . + an(jc)^ = 0
с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами, а также для системы таких уравнений.
б] § 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 61
dx dx
dU лтт или, поскольку -j-^- — ли,
dx
Умножение на С/-1 приводит к системе распавшихся уравнений
-?-=0; dx
по доказанному, z = const, откуда следует.что у = Uz есть вектор, являющийся линейкой комбинацией векторов фундаментальной системы.
Остальные утверждения вытекают из доказанного, так как любое уравнение высшего порядка и систему таких уравнений можно заменить эквивалентной системой первого порядка.
Замечание. В отличие от рассмотренного- случая для уравнений с особенностями в коэффициентах могут появляться новые решения в обобщенных функциях, а также могут исчезать классические решения.
Пример 1. Рассмотрим уравнение 1-го порядка
*^ = °-
dx
Его решение должно совпадать с постоянной как при х > 0, так и при х < 0. Отсюда следует, что это уравнение имеет два линейно независимых решения:
_у1==1, _у2 = 8(х).
Пример 2. Уравнение
— 2х3у' ~ у
*) См. Ф. Р. Г а и т м а х е р, Теория матриц, Гостехидцат, 1954, стр. 371 и дальше.
Наметим доказательство этих утверждений. Систему (5) для удобства запишем в векторном виде *)
-|? = Лу, Л = || «у ||.
Рассмотрим матрицу U = J [ tt* (-яс) J j фундаментальной системы (обычных) решений системы (5); известно, что матрица U обратима. Перейдем от неизвестных у к неизвестным z по формуле у = Uz; подставляя это выражение в систему (5), получаем:
dU> , dz
¦* + и AUz
62 гл. i. простейшие свойства Обобщенных функций [6
имеет единственное решение в обобщенных функциях:
у = 0.
Действительно, при х Ф О обобщенное решение должно совпа-
1
дать с классическим решением у = Сех\ где С ф 0 или С = 0. Но первое невозможно, так как, согласно п. 7 § 1, интеграл
ср (х) dx
не допускает регуляризации.
Существование первообразной. Рассмотрим простейшее неоднородное уравнение
Ц=/. (б>
где / — данная обобщенная функция, a g— искомая.
Покажем, что уравнение (6) при любой правой части f имеет решение в классе обобщенных функций. Естественно называть это решение первообразной или неопределенным интегралом от обобщенной функции /:
g = f fdx. Уравнение (6) эквивалентно уравнению (g. —?') = (/. «?)
для любой основной функции ср. Но тем самым функционал g задан на любой основной функции ф, являющейся производной от какой-либо другой основной функции Ср, т. е. он задан на многообразии Ф0, рассмотренном в начале этого пункта. Мы должны продолжить функционал g на всё пространство К. Это можно осуществить, например, так: рассмотрим основную функцию cpt (х), для которой
со
. J* cpt (х) dx = 1, и снова представим любую основную функ-
— со
цию ср в форме
со —со
Где ср0 принадлежит Ф0. Тем самым мы с каждой основной
g] § 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 63
Sfl*rt- = /i 0 = 1. 2.....rn), (8)
dx 1
где fi — обобщенные, a atj — обычные бесконечно дифференцируемые функции, сводится к решению уравнений вида (6).
Действительно, если выполнить уже применявшуюся выше подстановку y — Uz, где U — матрица фундаментальных решений соответствующей однородной системы (/,¦ = 0), то мы получим
?/^-=/, или = U~lf. В этой системе неизвестные «разделились к каждое ее уравнение имеет вид (6).
Наконец, неоднородное уравнение высшего порядка
