Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
2.2. Процедуры исключения быстрых переменных В пункте 1.2 описаны замечательные замены переменных, позволяющие формально исключить быстрые фазы из правых частей уравнений движения. Эти замены играют центральную роль во всех вопросах, связанных с усреднением. В рассматриваемом случае гамнльтоновых систем эти замены можно выбрать симплектическими. Ниже описываются основные процедуры симплектического исключения быстрых фаз.
А. Метод Линдштедта. Это — один из первых методов исключения быстрых фаз. Современную форму ему придал Пуанкаре в [34].
Пусть имеется возмущенная гамильтонова система (23) с п степенями свободы и п частотами, причем между частотами нет тождественных резонансных соотношений. Постараемся подобрать симплектическую близкую к тождественной замену переменных /, qjH-к/, -ф так, чтобы новый гамильтониан 36 зависел только от медленных переменных: Эв = Ж(]У є). Производящую функцию замены переменных и новый гамильтониан ищем
189 в виде формальных рядов по е:
/-' + "Sf. *-Ч>+е?.
S (У, ф, е) = S1 (У, ф)+ES2 (У, Ф) + ..., (25)
(У, 6) = ^0(-/)+6^(У)+.,. .
Функции Si должны иметь по ф период 2я. Старый и новый гамильтонианы связаны соотношением
*</, е) = Яо(У+б||) + еЯ1(У+е^, Ф, е).
Приравнивая здесь члены одинакового порядка по е, получаем систему уравнений
^0(J) = H0(J),
+ Ф,0), (26)
«іЮ-Зт^+'М-ЛН і>2.
Функция F1 является полиномом от dSjdф, ...,dSt.і/<?ф. Решение системы (26) в обозначениях < • ) ф, {- }ф для оператора усреднения и интегрирующего оператора, введенных в п. 1.2, дается формулами
M1= < H1 > », S1=- {Я,}*+S10 (У), M1=(F1)V, 5,--W+ SiO(У), і>2.
Здесь S10 — произвольные функции от /. Часто выбирают S10=
SS 0.
В выражение для интегрирующего оператора (см. п. 1.2) входят знаменатели (k, to (/)) = (Дг, dH0/dJ) с целочисленными векторами кФ0. Поэтому функции S, не определены, вообще говоря, на всюду плотном множестве точек /, где эти знаменатели обращаются в нуль или ненормально малы.
Временно забудем о малых знаменателях и предположим, что первые m функций Si определены и являются гладкими. Оборвем ряд для функции S на членах порядка ет и рассмотрим замену переменных с «укороченной» производящей функцией /ф + е5і(/, ф) + . . . +emSm(/, ф). Для новых переменных получим гамильтониан, в котором зависят от фаз лишь члены порядка em+1 и выше. Отбросив эти члены, получим интегрируемую систему уравнений, в которой J = Const1 а фаза равномерно вращается с частотой, зависящей от /. Подставляя это решение в формулы замены переменных, получаем приближенное решение исходной системы. Его точность и интервал времени, на котором оно пригодно, растут с увеличением номера приближения т. На интервале времени (0, Т) это решение га-
190 рантирует точность 0(em+17') для медленных переменных и 0(em+IT2)—для быстрых. При т= 1 приходим к усредненной системе. Если бы ряд для замены переменных сходился, то описанная процедура давала бы возможность проинтегрировать исходную возмущенную систему.
Чтобы придать этим рассуждениям реальный смысл при наличии малых знаменателей, представим возмущение в форме
EH1 (/, ф, е) = //(1) (/, Ф, е) + Я<2> (/, ф, в) + ...,
где #(0 — тригонометрический полином ОТ ф, ограниченный по модулю величиной порядка еБудем проводить описанную выше процедуру исключения фаз, считая Я(<) членом порядка е' в разложении возмущения в ряд по е («забыв» при этом, что функция Н(<)/е' сама зависит от е). Тогда в каждом приближении процедуры возникает лишь конечное число малых знаменателей и, соответственно, функции Si, I^t^m, не будут определены лишь на конечной совокупности поверхностей (k, сэ(/))=0 (их количество зависит от е и номера приближения т). Вне малой окрестности этой совокупности поверхностей введенная выше «укороченная» производящая функция определяет замену переменных, приближенно интегрирующую исходную систему уравнений. Полностью система функций Su 1?? ^iCоо, по-прежнему не определена, вообще говоря, на всюду плотном множестве значений /.
Метод Линдштедта очень эффективен, так как дает простой способ приближенного интегрирования возмущенной гамильтоновой системы. Этот метод сыграл большую роль в развитии теории, так как позволил построить разложение общего решения возмущенной гамильтоновой системы в формальный ряд, содержащий только периодические по времени члены. Методы, дающие такие разложения, Пуанкаре назвал «новыми» в противовес «старым» методам, в которых появлялись вековые члены вида Р* и tm sin It, tm cos It (34]. Открытие «новых» методов совершенно изменило постановку вопроса об устойчивости возмущенных гамильтоновых систем (и в том числе Солнечной системы). Появление вековых членов в «старых» методах, обусловленное в действительности способом разложения, (подобно тому как возникает вековой член в разложении sin (1 + e)i = sin t+Bt cos t+ ...), считалось признаком неустойчивости движения". Усилия были направлены на доказательство отсутствия таких членов для конкретных возмущений в главных порядках разложения. Для Солнечной системы Лаплас доказал отсутствие вековых членов в первом порядке по возмущению. Пуассон нашел, что во втором порядке по возмуще-
