Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
3.4. Диффузия медленных переменных в многомерных системах и ее экспоненциальная оценка. При исследовании возмущенного движения вне инвариантных торов следует различать случаи двух и большего числа степеней свободы.
В случае двух степеней свободы инвариантные двумерные торы делят трехмерный уровень энергии. Из этого вытекает невозможность эволюции (п. З.З.А).
26-2
203 Если же число степеней свободы п больше двух, то «-мерные инвариантные торы не делят 2п—1-мерное многообразие уровня энергии, но расположены в нем подобно точкам на плоскости или линиям в пространстве. В этом случае «щели», отвечающие разным резонансам, соединяются друг с другом. Поэтому инвариантные торы не препятствуют начавшейся вблизи резонанса фазовой кривой уйти далеко.
Гипотеза (|5]). Тйпичным случаем в многомерной задаче является топологическая неустойчивость: в сколь угодно малой окрестности любой точки проходит фазовая траектория, вдоль которой медленные переменные уходят от начального значения на величину порядка 1.
Теория KAM доказывает метрическую устойчивость", т. е. устойчивость для большинства начальных данных. Таким образом, согласно сформулированной гипотезе, типичным случаем в многомерной задаче является комбинация метрической устойчивости и топологической неустойчивости.
Есть много примеров эволюции медленных переменных в метрически устойчивых задачах. Большинство этих примеров относится к очень вырожденным ситуациям, когда невозмущенный гамильтониан не является крутой функцией (определение крутых функций см. ниже). Аналитически разобран только один пример эволюции в системе с крутым невозмущенным гамильтонианом [45]. Средняя скорость эволюции в этом примере экспоненциально мала (0(ехр(—1/1'е))).
Численные эксперименты показывают, что эволюция переменных «действие» не имеет, по-видимому, направленного характера, а представляет собой более или менее случайное блуждание по резонансам вокруг инвариантных торов. Этот процесс называется «диффузией» [68]. Обсуждение возникающих здесь вопросов имеется в [68], [146], [167].
«Диффузия» для систем общего положения происходит экспоненциально медленно. Нужное условие общности положения называется условием крутизны. Аналитическая функция называется крутой, если она не имеет стационарных точек, а ее ограничение на любую плоскость любой размерности имеет только комплексно-изолированные стационарные точки2'.
Теорема 18 (Н. Н. Нехорошее [18], [111]). Если невозмущенный гамильтониан H0 (/) — крутая функция, то в возмущенной гамильтоновой системе при достаточно малой величине
возмущения выполнено I / (/) — / (0) I < є4 при 0 < t < exp ( ^a \
" Слово употреблено здесь ие в формальном смысле, а как синоним отсутствия эволюции: sup |/(/)— /(0)|-*0 при е-^0.
— оо</<»
;> Понятие крутизны введено Н. Н. Нехорошевым [НО). Здесь в качестве определения сформулировано доказанное Ю. С. Илъяшеико достаточное условие крутизны.
204 Здесь a, b — положительные постоянные, зависящие от характеристик невозмущенного гамильтониана.
<1 Доказательство основано на следующих соображениях. В области, где частоты невозмущенного движения не удовлетворяют никаким резонансным соотношениям порядка до Чг, процедура исключения фаз п. 2.2. А (метод Линдштедта) позволяет отнести зависимость от фаз в экспоненциально малые члены гамильтониана. Следовательно, в этой области эволюция может быть лишь экспоненциально медленной.
Быстрая эволюция (со скоростью порядка є) возможна лишь при резонансе. Вблизи резонанса процедура п. 2.2. Б (метод Цейпеля) позволяет отнести в экспоненциально малые члены зависимость от нерезонансных комбинаций фаз. Отбросив эти члены, получим систему, которая, по теореме 12, имеет линейные интегралы. Быстрая эволюция происходит в определяемой этими интегралами плоскости. Условие точного резонанса сострит, как нетрудно сосчитать, в том, что градиент ограничения H0 на эту плоскость обращается в нуль. Так как H0 — крутая функция, то точный резонанс осуществляется в изолированной точке. Следовательно, при эволюции резонанс нарушается. Поэтому быстрая эволюция идет лишь короткое время, вследствие чего и получается экспоненциально малая оценка средней скорости эволюции сверху. [>
Если условия крутизны нарушаются, то, как показывает пример 17, эволюция может идти со скоростью порядка е и приводить к уходу медленных переменных на расстояние 1 за время '/е.
3.5. Разные варианты теоремы об инвариантных торах.
А. Инвариантные торы симплектических отображений. Рассмотрим отображение 2л-мерного «кольца», близкое к n-мерному повороту:
/'=/+ef(/, ф, е), IeBczRn,
(35)
ф'=ф+А(/) +tg(I, ф, е), фШ00 02пбГп. Пусть отображение точное симплектическое, т. е. оно сохраняет интегралы по замкнутым контурам от 1-формы Idtр. Невозмущенное (е=0) отображение называется невырожденным, если det(<?A/d/)#0.
Теорема 19 ([150]). Пусть невозмущенное отображение аналитично и невырождено. Тогда при достаточно малом возмущении класса С', г>2п+1, в кольце BxTn имеются инвариантные торы, близкие к торам / = const, причем мера дополнения к их объединению мала вместе с возмущением, ибраз точки тора при итерациях отображения заполняет тор всюду плотно.
