Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
184 одной степенью свободы, гамильтониан которой зависит от Lr 0 как от параметров. Фазовые портреты этой системы для всех L, 9 построены в [62] (с помощью ЭВМ, так как форма гамильтониана достаточно сложна). Аналитически эта задача исследована в четырех предельных случаях: при малых наклонениях, в хилловском случае (Юпитер находится гораздо дальше от Солнца, чем астероид) [93], внешнем хилловском случае (астероид находится гораздо дальше от Солнца, чем Юпитер) [69] и в случае равномерно близких орбит астероида и Юпитера [165].
При малых наклонениях движение качественно такое же, как в плоской задаче".
При исследовании хилловского случая было обнаружено следующее новое явление: у орбит с большими наклонениями возникают значительные колебания эксцентриситета. В частности, у первоначально почти круговых орбит с наклонением 90° эксцентриситет возрастает до единицы, что приводит к превращению орбиты в отрезок и столкновению с Солнцем. Быть может, это объясняет, почему Солнечная система почти плоская и почему отсутствуют спутники с большими наклонениями к плоскости Солнечной системы у сферически симметричных планет.
Во внешнем хилловском случае плоскость орбиты астероида медленно прецессирует вокруг нормали к плоскости орбиты Юпитера, а сама орбита медленно поворачивается в своей плоскости как твердое тело. Для вертикальных орбит прецессия отсутствует. Для орбит с наклонением arc cos у^отсутству-
ет поворот в плоскости орбиты2'. А
Пример 13. (Теорема Лагранжа — Лапласа об устойчивости Солнечной системы). Рассмотрим задачу п тел в предположении, что масса одного тела (Солнца) много больше масс остальных тел (планет). Невозмущенной будем называть систему, в которой планеты не взаимодействуют друг с другом, а Солнце неподвижно. Невозмущенная система распадается на п—1 задач Кеплера. Предположим, что невозмущенные орбиты планет — кеплеровские эллипсы, и введем для описания каждого из них канонические элементы Пуанкаре® [24]. В ре-
'> Если в начальный момент наклонение мало, то в усредненной системе оно остается малым во все время движения р102|.
:>' Точно так же эволюционирует орбита далекого спутника осесимметрич-ной планеты (сім., например, [50]).
a> Это канонические переменные, в которых задача регулярна при малых эксцентриситетах и наклонениях. Элементы Пуанкаре Л, |, р, X, т|, q связаны с элементами Делоне L, G1 8, /, g. # соотношениями
Л=L, (L—G)cosg, р=У2(0—в)со$Ъ.
X=l+g+u, г| = — У2(L-G)sing, q=—У2(0—6)sino. При нулевых эксцентриситетах и наклонениях ?=i\=p=q=Q. Переменная — средняя долгота планеты.
17-1
185 зультате получим канонические переменные для возмущенной системы. В рассматриваемой задаче есть п—1 быстрых фаз — это средние долготы планет. Сопряженные им переменные Aj = =Viw. /=1,...,п— 1, являются интегралами усредненной по быстрым фазам системы. Здесь aj — большие полуоси орбит кеплеровских эллипсов планет, Hj — множители, зависящие от масс. Итак, в усредненной системе большие полуоси орбит планет не эволюционируют. Этот важный вывод называется теоремой Лапласа об отсутствии вековых возмущений полуосей.
Далее оказывается, что усредненная система имеет устойчивое положение равновесия, соответствующее движению всех планет в одной плоскости а одну сторону по круговым орбитам. Движение планет, соответствующее малым колебаниям в линеаризованной около этого равновесия усредненной системе, называется лагранжевым движением. Оно имеет простую геометрическую интерпретацию. Вектор, направленный из фокуса в перигелий планеты и имеющий длину, пропорциональную ее эксцентриситету (вектор Лапласа), в проекции на основную плоскость системы координат является суммой п—1 равномерно вращающихся векторов. Набор угловых скоростей этих векторов одинаков для всех планет. Вектор, направленный по линии пересечения плоскости орбиты планеты с основной плоскостью (линии узлов) и пропорциональный по длине наклонению планеты, является суммой п—2 равномерно вращающихся векторов". Если в некоторый момент времени эксцентриситеты и наклонения достаточно малы, то в усредненной системе они останутся малыми и во все время движения. В частности, оказываются невозможными столкновения планет и уходы на бесконечность. Это утверждение называется теоремой Лагранжа — Лапласа об устойчивости Солнечной системы. С момента доказательства теоремы (1784 г.) центральная математическая задача небесной механики состояла в том, чтобы перенести этот вывод об устойчивости с усредненной системы на точную. На этом пути возникли многие разделы теории динамических систем, в том числе теория возмущений и эргодическая теория. Сейчас решение рассматриваемой задачи значительно продвинуто. Оказывается, при достаточно малых массах планет большая доля области фазового пространства, соответствующей не-зозмущенном движению в одну сторону по кеплеровским эллипсам малых эксцентриситетов и наклонений, заполнена условно-периодическими движениями, близкими к лагранжевым (см. § 3). Таким образом, «устойчивость» имеет место для большинства начальных условий. При начальных условиях из исключительного множества эволюция больших полуосей если и происходит, то очень медленно — ее средняя скорость экспо-
