Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
<'а, 'Ь> = <'а, А'Ь>. Функция Лагранжа приведенной системы, очевидно, равна
\ < Л<о, (о> + VrW-J
где Vc= V—с212<Ае, е> — приведенная силовая функция. В переменных '(о, е стандартная симплектическая структура на T*S2 задается формулами (8). При сфО приведенную структуру на T*S2 тоже можно определить с помощью формул (8), только правые части надо дополнить слагаемыми, пропорциональными постоянной с. А
2.3. Примеры: свободное вращение твердого тела и задача трех тел. Рассмотрим сначала задачу Эйлера о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки по инерции (см. п. 2.4 гл. 1). Здесь M = TSO(3) =S0(3)XR3, группой симметрий G является группа вращений SO (3); ей соответствует пуассонов-ская алгебра первых интегралов, изоморфная алгебре Ли so (3). Зафиксируем значение кинетического момента и рассмотрим интегральный уровень Afe=Pe0Or1 (с)- Нетрудно показать, что при всех значениях с множество Afc является трехмерным многообразием, диффеоморфным пространству группы SO (3). Стационарной группой Gc является одномерная группа поворотов SO (2) твердого тела в неподвижном пространстве вокруг постоянного вектора кинетического момента. Приведенное фазовое пространство A7e = SO(3)/SO(2) диффео-морфно двумерной сфере.
Это приведение можно осуществить, например, следующим образом. Поскольку гзмі.'льтоново векторное поле на Af допускает группу G, тс. его можно опустить на факторпространство MjGcRi. Возникающее на Ri дифференциальное уравнение является уравнением Эйлера
? + <oXA=0, (O=A-1Zfe.
Это уравнение можно представить в гамильтоновом виде F = = {F, #}, где H=(k, (о>/2 — кинетическая энергия твердого тела, а скобка I , } определяется с помощью равенств {ftb ki}=—kz, {k2, Аз} = —^ь Ai}=— k2. Эта скобка, правда, вырождена: функция F=<k, k> коммутирует со всеми функциями» заданными на R3= {ft}. Мы получим невырожденную скобку Пуассона, если ограничим скобку { , } на поверхность уровня ^=M2. диффеоморфную двумерной сфере S2. На симплектическом многообразии S2 возникает искомая гамильтонова система; ее функция Гамильтона является полной энергией <k, <i>>/2, ограниченной на S2.
Укажем классический способ сведения задачи Эйлера к гамильтоновой системе с одной степенью свободы, использующий специальные канонические переменные. Пусть oXYZ — неподвижный трехгранник с началом в точке подвеса, oxyz — подвижная система координат (главные оси инерции тела). Положение твердого тела в неподвижном пространстве определяется тремя углами Эйлера Ь (угол нутации)—угол между осями OZ и OZ, ф (собственного вращения) — между осью ох и линией пересечения плоскостей оху и oXY (называемой линией узлов), ^ (угол прецессии) — между осью оХ и линией узлов. Углы O, ф, 1|) образуют на SO(3) систему координат, подобную географическим координатам на сфере: с особенностями у полюсов (где 0=0, л) и многозначностью на одном меридиане. Пусть Pt, Ръ Pi — канонические импульсы, сопряженные с координатами О, ф, Если твердое тело вращается в осесим-метричиом силовом поле с осью симметрии oZ, то функция Гамильтона не будет зависеть от угла i?. Понижение порядка в этом случае можно трактовать как «исключение узла» — исключение циклической переменной яр, определяющей положение линии узлов в неподвижном пространстве.
Введем теперь «специальные канонические переменные» L, G> Н, I, g, Л. Пусть 2 — плоскость, проходящая через точку о и перпендикулярная вектору кинетического момента тела. Тогда L — проекция момента на ось oz, G — величина момента, H — проекция момента на ось oZ, I — угол между осью ох и линией пересечения 2 с плоскостью оху, g — угол между линиями пересечения 2 с плоскостями оху и oXY, h — угол между осью оХ и линией пересечения 2 с плоскостью oXY.
Предложение 4. Преобразование Q, ф, рв, р„ р%-+ ->-/, g, h, L, G, H — «однородное» каноническое:
p„db+р,<іф+pi,d\|э = Ldl -I- Gdg+Hdh. Это утверждение принадлежит Андуайе (Н. Andoyer); не-
16-2 Рис. 20. Специальные канонические переменные
канонические переменные близкие по смыслу к элементам L, G, Н, I, g, h были использованы Пуассоном при анализе вращательного движения небесных тел [138].
Из определения специальных канонических переменных нетрудно получить, что AlW1 = KG2-L2Sin/, A2Ob = ]/G2-L2X XcosZ, A3Oi3=L. Следовательно, в задаче Эйлера функция Гамильтона приводится к виду
і И^2 + ^u2* + A3CO32) =4 (?^ + (G2-L2) +
При фиксированном значении величины кинетического момента G0 переменные L, I изменяются в кольце |L|sSG0, /mod2n. Линии уровня функции Гамильтона показаны на рис. 21. Кривые L = ±Go соответствуют особым точкам уравнений Эйлера — постоянным вращениям тела вокруг оси инерции oz. Переменные L1 I естественно рассматривать как географические симплектические координаты на приведенном фазовом пространстве S2.
Рассмотрим теперь с точки зрения понижения порядка задачу трех тел, имеющую (в пространственном случае) 9 степе-
масс в задаче п тел
16-2 пульса и кинетического момента уравнения движения трех гра-витирующих тел можно свести к гамильтоновой системе с 4 степенями свободы. Используя еще интеграл энергии, мы приходим к выводу, что задача трех тел сводится к изучению динамической системы на некотором семимерном многообразии. В случае, когда три тела постоянно расположены в одной плоскости, размерность этого многообразия равна пяти. Эти результаты восходят к Лагранжу и Якоби.
