Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
2) <Р, (гоХе) >+<К,е>=0.
Тогда Kt = Mt.
Если, в частности, ось / не меняет направления в пространстве (e(t) =const), то условие (2) переходит в условие С. А. Чаплыгина (1897 г.): <е, ToXrp = O, где х\ — скорость центра масс. В случае, когда г0=т], условие 2) можно упростить: <К+г0ХР, е> = 0. Оно заведомо выполнено при дополнительном предположении, что e(t) =const. Например, уравновешенный конек вращается вокруг вертикали с постоянной угловой скоростью.
Пример 5. Рассмотрим задачу Чаплыгина о качении по горизонтальной плоскости динамически несимметричного шара, центр масс.которого совпадает с его геометрическим центром. Пусть о — точка касания шара с плоскостью, Ко — его кинетический момент относительно точки о. Задача Чаплыгина допускает группу поворотов 50(3) вокруг точки касания. Момент /so«зі равен, конечно Ко, а момент сил <DG = 0. Следовательно, по теореме 6, /Co = const. Это замечание позволит нам составить замкнутую систему дифференциальных уравнений качения шара. Пусть kp — кинетический момент в подвижном пространстве, связанном с твердым телом, со—угловая скорость вращения шара, у — единичный вектор вертикали. Постоянство векторов k0 и у в неподвижном пространстве эквивалентно уравнениям
^ о + ш X Au = О, Y+G)XY=0- (5)
16-2 Пусть А — тензор инерции тела относительно центра масс, т — масса шара, а — его радиус. Тогда ko=Ato+ma2yX Х(й)Ху). Это соотношение превращает уравнения (5) в замкнутую систему дифференциальных уравнений относительно ш и у- Уравнения (5) имеют четыре независимых интеграла: Fx = <ko,Ar0>, F2 = <ko,y>, F3= <у, y> = 1, FA = (k0, ш>. Последний интеграл выражает постоянство кинетической энергии качения шара. С помощью этих интегралов уравнения (5) можно проинтегрировать в квадратурах (G. А. Чаплыгин, 1903 г.).
1.3. Симметрии в вакономной механике. Пусть (M1S1L) — вакономная система и G — группа Ли, действующая на Af.
Определения. Группа G называется группой симметрий вакономной системы (М, S, L), если
1) группа G переводит SczTM в S,
2) G сохраняет ограничение L на S.
Кинетическим моментом Ig вакономной системы относительно группы G назовем отображение Т*М-+$*, заданное формулой: p-*-p'VX, XbS, здесь р — вакономный импульс.
Пример 6. Предположим, что система (Af1S1L) натуральная, и кинетическая энергия определяется римановой метрикой < , >. Если связь S задана уравнением <а (дг), х> = 0, то
/=<о, *>+</?, a>(a-v)/<a, а>. Д
Теорема 9. Если вакономная система (Af, S, L) допускает группу симметрий G, то /с = Const.
Функция Io в общем случае не наблюдаема. Если, однако, поля симметрий Djr, Х#§ являются полями возможных скоростей, то Iq равна L-x -vx и поэтому наблюдаема.
Пример 7. Конек на горизонтальной плоскости, рассматриваемый как вакономная система, допускает группу трансляций, ио не допускает группу поворотов вокруг вертикальной оси. Следовательно, вакономный импульс конька сохраняется. Эта величина, однако, не наблюдаема. Вакономный момент относительно группы поворотов конька совпадает с обычным кинетическим моментом, который не является первым интегралом уравнений движения. А
1.4. Симметрии в гамильтоновой механике. Пусть (М, а»2) — снмплектическое многообразие и группа g' действует на M как группа симплектических диффеоморфизмов. С группой g связано векторное поле
•-¦iL*"-
Это поле локально гамильтоново: 1 — форма ш2(', о) замкнута. Поэтому локально <a2{-,v)=dF. Продолжение функции F на многообразие M в целом приводит, как правило, к многозначной функции Гамильтона. Если, однако, симплектическая
15-1
97 структура ш2 точна, то поле v имеет однозначный гамильтониан. Действительно, если (D2 = ^O)1, то F = M1 (f).
Пример 8. Пусть N — гладкое многообразие Hg' — группа его диффеоморфизмов, порожденная векторным полем и. Поскольку каждый диффеоморфизм N переводит 1-формы в !-формы, то группа gs действует и на пространстве кокасатель-ного расслоения M = T*N. Напомним, что M имеет стандартную симплектическую структуру a2=dp/\dq = d(p-dq), где р, q — «канонические» координаты на Af. Поскольку группа gs сохраняет 1-форму p-dq, то она сохраняет 2-форму ш2 и, стало быть, является группой симплектических диффеоморфизмов Af. Действие g' на Af порождается однозначной функцией Гамильтона F = p u. Д
Теорема 10. Группа симплектических диффеоморфизмов gs с однозначной функцией Гамильтона F сохраняет функцию H : M-+R тогда и только тогда, когда F — первый интеграл га-мильтоновой системы с функцией Гамильтона Я.
<] Доказательство основано на применении следующей формулы:
^ (*)) = {//,/rJ(X). о
Теперь мы предположим, что на Af задано симплектическое действие группы Ли G такое, что каждому элементу X из ее алгебры S соответствует однопараметрическая подгруппа с однозначной функцией Гамильтона. Эти гамильтонианы определены с точностью до постоянных слагаемых.
Определение. Симплектическое действие G на Af называется пуассоновским, если соответствие X<~*Fx можно подобрать так, что
1) Fx линейно зависит от X,
2) {Fx, Fy)=Flx.ri VX, Y&.
